Calculo Diferencial e Integral

Universidad Tecnológica de Nezahualcóyotl

División de Tecnología Ambiental

Asignatura: Calculo Diferencial e Integral

Profesor: Octavio

PROBLEMARIO DE INTEGRALES

Integrantes: Alfaro Solís Stephanie Alexandra

Juárez Bahena Jovany

Real Aldaco Roma Alejandra

QA. 33

Introducción

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Dada una función de una variable real y un intervalo de la recta real, la integral

Es igual al área de la región del plano limitada entre la gráfica de , el eje , y las líneas verticales y , donde son negativas las áreas por debajo del eje .

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada . En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas. Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una anti derivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería. Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional. Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.

1.- Una colonia de bacterias inicialmente tiene una población de 14 millones. Suponga que t horas después la población está creciendo a razón de f(t) = 2t millones de bacterias por hora.

a) De una integral defina que represente el cambio total en la población de bacterias para el tiempo trascurrido de t = 0 a t = 2.

b) Encuentre la población en el tiempo t = 2.

Solución

a) Como f (t) = 2tr de la razón de cambio de la población, tenemos

Cambio en la población entre ∫_0^2▒〖2t dt〗

T = 0 y t = 2

b) Usando una calculadora encontramos ∫_0^2▒〖2t dt〗 = 4.328. La población de bacterias fue de 14 millones al tiempo t = 0 y aumento 4.328 millones entre t = 0 y t = 2. Por tanto, en el tiempo t = 2, Población = 14 + 4.328 = 18.328 millones de bacterias.

2.- Suponga que C (t) representa el costo diario de contaminantes en aire en dólares por día, donde t es el tiempo medido en días y t = 0 corresponde al 1 de enero del 2000. Interprete ∫_0^90▒〖C (t)dt〗

Solución

Las unidades para la integral ∫_0^90▒〖C (t)dt〗 son (dólares/día) x día = dólares. La integral representa el costo total en dólares contaminación en los primeros 90 días del 2000, es decir, los meses de enero, febrero y marzo.

3.- Se muestra la tasa de crecimiento de la población de dos especies de plantas (medidas en nueve plantas por año. Suponga que las poblaciones de las dos especies son iguales en el tiempo t = 0.

a) ¿Cual población es mayor después de un año?, ¿después de dos años?

b) ¿Cuánto aumenta la población de la especie 1 durante los primeros años?

Solución

a) La tasa de crecimiento de la población para la especie 1 es mayor que la especie 2 durante primer año, de modo que la población de la especie 1 es mayor después del primer año. Después de 2 años, la situación es menos clara porque la población de la especie 1 aumento más rápido el primer año y la de la especie 2 durante el segundo año. Sin embargo, si r (t) es la razón de crecimiento de la población tenemos que: Cambio total en la población durante los primeros dos años = ∫_0^2▒〖r (t)dt〗

b) El cambio de población para la especie 1 es el área de la región r (t) entre t = 0 y t = 2. La región costa de unos 16.5 cuadros, cada uno de área (750 plantas/ año) (0.25 años) = 187.5 plantas, dando un total de (16.5) (187.5) = 3, 093. 75 plantas. La población de la especie 1 aumenta unas 3,100 plantas durante los dos años.

4.- Deseamos modelar la población de México por medio de una función

P = f (t) = 67.3881.026)

Donde P esta dado en millones de habitantes y t esta medido en años a partir de 1980. Use esta función para pronosticar la población promedio de México entre los años 2000 y 2020.

Solución

Deseamos encontrar el valor promedio de f (t) entre t = 20 y t = 40. Usando una calculadora para evaluar la integral, obtenemos

Población promedio = 1/(40-20) ∫_20^40▒〖f (t)dt= 〗 1/20 (2,942.66) = 147.1

Se estima que la población promedio de México entre el 2000 y 2020 será aproximadamente de 147 millones de habitantes.

5.- Encuentre

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