Cálculo diferencial e integral.

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Cálculo diferencial e integral

INTRODUCCIÓN

El cálculo se encuentra inmerso en una  de las bases más sólidas de las matemáticas, así que por lo tanto en esta sección se trata de dar de forma simple y resumida, conceptos básicos, relacionando teoremas  de los valores  máximos y mínimos de una función cualquiera en un intervalo cerrado, puesto que en la vida, siempre nos preocupamos por valores o resultados máximos, en este caso podríamos mencionar ganancias, población, productos agrícolas y entre otros.

Sin embargo, también los valores mínimos son necesarios específicamente si se habla en medicina por ejemplo, la cantidad mínima de droga que se le necesitaría administrar  a un paciente, la cantidad mínima para adminístrale a un paciente y así muchos ejemplos más, por lo que esta sección se  define, mínimos y extremos de una función, la forma en la que la que obtenemos estos números a partir de la derivación, números críticos y su obtención en funciones cerradas en un intervalo dado.

Por lo tanto en esta sección se define algunos teoremas sobre extremos, valores relativos, números críticos en los cuales se menciona también unos ejemplos que relacionan su interpretación en las gráficas según sus valores y el tipo de función.

4. CONTINUIDAD Y LÍMITES UNILATERALES

4.1 Continuidad en un punto y continuidad en un intervalo abierto

Una función  es continua  en x = c, significa que en la gráfica de  no hay interrupción en c. Se puede decir que una función es continua si su gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel en el que se traza.[pic 2][pic 3]

A continuación se muestran tres valores de x, en la figura No. 1, en los que la función no es continua. En los demás puntos del intervalo (a, b) la gráfica de  no tiene ningún salto y es continua.[pic 4]

Se puede ver que la continuidad puede perderse por las condiciones:

1. La función no está definida en x = c.
2. El límite de  no existe en  x = c. [pic 5]
3. El límite de  existe en x = c, pero no es igual .[pic 6][pic 7]

4.2 Definición de extremos

Sea f una función definida en un intervalo I que contiene a c.

1.  es el mínimo de f en I  si para toda x en I.[pic 8][pic 9]

2. es el máximo de f en I  si para toda x en I.[pic 10][pic 11]

El mínimo y el máximo de una función en un intervalo son los valores extremos, o extremos de la función en el intervalo. Al mínimo o máximo también se le denomina mino absoluto y máximo absoluto del intervalo. 

FIGURA 40. Máximos y Mínimos

Una función no necesariamente tiene un mínimo o un máximo en un intervalo. Por ejemplo, en las figuras 40 puede observarse que en el intervalo cerrado  la función tiene un mínimo y un máximo, pero en el intervalo abierto (-1, 2) no tiene ningún máximo. Por otra parte, en la figura 42 puede verse que la continuidad (o la carencia de ella) puede afectar la existencia de un extremo en el Fuente (Cálculo de Larson 8va Edición)             intervalo. [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 12][pic 13]

Esto sugiere el teorema siguiente (aunque el teorema del valor extremo es intuitivamente plausible, la demostración de este teorema no cabe dentro del alcance de todo este texto.)

FIGURA 41: Donde no hay máximo

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FUENTE (Cálculo de Larson 8va Edición)

FIGURA 42

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FUENTE  (Cálculo de Larson 8va Edición)

4.3 Teorema del valor extremo

 Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces  tiene tanto un mínimo como un máximo.[pic 45]

Nota: El teorema del valor extremo (como el teorema del valor intermedio) es un teorema de existencia porque habla de la existencia de los valores mínimos y máximos pero no muestra cómo encontrar estos valores.

4.4 Extremos relativos y números críticos

En la figura 39, la gráfica de  tiene un máximo relativo en el punto (0,0) y un mínimo relativo en el punto (2, -4). De manera informal, puede pensarse que un máximo relativo se presenta en una cresta de una gráfica, y un mínimo relativo se presenta en un valle de una gráfica. Estas crestas y estos valles pueden presentarse de dos maneras. Si la cresta (o valle) es suave y redondeada, la gráfica tiene una recta tangente horizontal en ese punto alto (o en ese punto bajo). Si la cresta (o el valle) es aguda y picuda, la gráfica representa una función que no es derivable en ese punto alto (o en ese punto bajo). Si la cresta o el valle es  aguda y picuda, grafica no es derivable en ese punto alto o en ese punto bajo.[pic 46]

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