Estimación de la avenida de diseño

Estimación de la avenida de diseño

La estimación de avenidas de diseño es el proceso de obtener las caracteristicas del hidrograma que se utilizara para determinar las dimensiones de una obra.

 El fin de los metodos de estimacion de avenidas de diseno es determinar de la mejor manera posible la magnitud del evento correspondiente a un nivel de riesgo aceptable.

 La estimacion de avenidas se realiza con base en un nivel de riesgo determinado, que se traduce en un periodo de retorno de diseño, que corresponde al numero de anos en el que, estadísticamente, el evento de diseno puede presentarse o ser excedido.

Dada la necesidad de obtener avenidas de diseño cada vez más confiables, se han desarrollado diferentes técnicas de predicción, desde las más simples como la de Mayoración de la avenida más adversa (Domínguez et al., 1980), hasta aquellas en que se utilizan distribuciones de probabilidad bivariada (Peagram and Deacon, 1992, Escalante, 1998a).

La primera se basa en estimar el gasto de pico (Qp) y con correspondiente, con lo que se deja como variable secundaria al volumen total (Vt). Esta consideración no siempre es la mejor, pues en ocasiones es más importante conocer Vt que Qp. Por ejemplo, en el diseño de una presa, la descarga máxima sobre el vertedor no solo depende de Qp, sino también de Vt , la duración y la forma del hidrograma de entrada. Es por ello, que las técnicas que son capaces de modelar más de una de las componentes de los hidrogramas registrados (Qp , Vt, tiempo pico tp, tiempo base tb, etc.) podrán proporcionar avenidas de diseño con una incertidumbre inherente más baja.

En este trabajo se hace una comparación entre algunos de los métodos utilizados para la estimación de avenidas de diseño como son:

• Mayoración (M)

• Avenidas de probabilidad seleccionada (APS)

• Avenidas mediante curvas de reducción (ACR)

• Técnica del Instituto de Ingeniería de la UNAM (II)

• Estimación conjunta bivariada (ECB).

A continuación se hará una breve descripción de estas técnicas.

MÉTODO DE MAYORACIÓN (M)

Este método es uno de los más populares y de mayor arraigo en México, debido a la rapidez y facilidad en su aplicación (Domínguez et al., 1980). A partir del análisis de los gastos medios diarios se determina la máxima avenida registrada, la cual se puede considerar como la más adversa.

El criterio para seleccionar dicha avenida puede tomar en cuenta el valor registrado más grande de Qp , Vt o una combinación de ambos. Una vez seleccionada, se deberá obtener un hidrograma adimensional, donde cada ordenada será Qo/Qp para o = 1 hasta la duración d (horas o días). Con el objetivo de estimar los eventos de diseño para diferentes periodos de retorno (QT), se deberá realizar un análisis de frecuencias a los gastos máximos anuales y, mediante un criterio de bondad de ajuste, seleccionar aquella distribución de probabilidad que mejor describa el comportamiento de la muestra analizada. Finalmente, para obtener la avenida de diseño solo se requiere multiplicar las ordenadas Qo/Qp del hidrograma adimensional por el valor estimado de QT, obteniendo así una avenida con las mismas características de la más adversa registrada, solo que más grande (mayorada). Una desventaja de este método es que en algunas ocasiones la avenida propuesta como más adversa es superada al año siguiente, por lo que se presentan dudas sobre los pronósticos realizados.

AVENIDAS DE PROBABILIDAD SELECCIONADA (APS)

Peagram y Deacon (1992) propusieron un método para la estimación conjunta de Qp y Vt que emplea la distribución de probabilidad Lognormal en su forma estandarizada. Las variables analizadas Qp y Vt se transforman mediante la aplicación de los logaritmos naturales y son llamadas por los autores como estandarizadas. Fijando el valor de Qp, generaron una función de distribución condicional para Vt. El producto de este análisis es una tabla donde se representa la variación de Vt en función del valor de Qp para tres diferentes combinaciones probabilísticas condicionales seleccionadas para Vt (25%, 50% y 75%) y diferentes valores del coeficiente de correlación entre las variables Qp y Vt (0.70, 0.75, 0.80, 0.85, 0.90 y 0.95) y los periodos de retorno T= 50, 100, 500, 1000, 5000 y 10000 años. La primera fase consiste en encontrar tres combinaciones (Qp y Vt )T para el periodo de retorno T (años) que le corresponde a la avenida registrada más adversa, bajo el criterio del Qp más grande. Los hidrogramas se generan siguiendo la forma de la distribución Pearson tipo III (Hiemstra y Francis, 1979).

Dado que se requiere encontrar la combinación probabilistica condicional más adecuada entre Qp y Vt , los tres hidrogramas se comparan con la avenida más adversa y se selecciona aquella que tenga la misma forma. Con la proporción definida entre Qp y Vt es posible estimar la avenida de diseño para un periodo de retorno seleccionado.

AVENIDAS MEDIANTE CURVAS DE REDUCCIÓN (ACR)

El National Environment Research Council de Gran Bretaña (NERC, 1975) propuso un método para estimar avenidas, a través de la relación entre el promedio de los gastos medios máximos anuales con diferentes duraciones respecto al promedio de los gastos máximos anuales, ya sean instantáneos o diarios. Al dibujar la relación de los gastos, llamada tasa de reducción, contra la duración, se obtienen las curvas de reducción como se muestra en la Figura 1, a partir de las cuales es posible construir el hidrograma de la avenida de diseño al aplicar la formula siguiente:

Donde (Qi / Qi) es el valor estimado para un periodo retorno T, mediante el ajuste de la mejor distribución de probabilidad para cada sitio analizado. iQ es el promedio de los gastos máximos registrados Qi • Qprom se estima al ajustar los Qi a las características fisiográficas y/o climatológicas de los sitios en la región en estudio; r(d) es la tasa de reducción que se obtiene de la Figura 1. En esta figura se aprecian ejemplos de curvas que corresponden a tres sitios diferentes dentro de una misma región hidrológica.

Para estimar el volumen total de la avenida de diseño se puede considerar que el hidrograma es del tipo triangular y los tiempos de pico (tp) y base (tb) son función del tiempo de concentración de la cuenca, el cual puede estimarse a través de la fórmula de Kirpich.

Donde tc es el tiempo de concentración (h), L longitud del cauce principal (km) y S es la pendiente del cauce principal (km/km).

Figura 1. Ajuste de curvas típicas de reducción para cada sitio analizado

TÉCNICA DEL INSTITUTO DE INGENIERÍA DE LA UNAM (II)

El objetivo de éste método es la estimación de avenidas de diseño para distintos periodos de retorno a través de un análisis probabilístico de los gastos máximos de todos los años de registro (Vázquez, 1995). A la muestra de gastos diarios se le hace un análisis para obtener los gastos máximos anuales asociados a varias duraciones (d) en días. Estos valores se obtienen al considerar, para cada año, todos los grupos posibles de gastos medios diarios en d días consecutivos. Obtenidos los valores máximos anuales correspondientes a cada duración, se ajustan a diferentes distribuciones de probabilidad y se elige aquella que mejor se ajuste a la muestra de acuerdo con algún criterio de bondad de ajuste (Kite 1988). Para llevar a cabo este procedimiento en este trabajo se utilizó el paquete de cómputo FLODRO (Raynal y Escalante, 1992)

Una vez elegida la distribución de probabilidad que mejor ajusta a la muestra de datos, se calculan los gastos máximos para diferentes duraciones y períodos de retorno. A su vez, a éstos les corresponden gastos individuales (gastos diarios) para cada período, los cuales se calculan de las siguientes ecuaciones:

Donde Qd es el gasto en el día d, Qmedd es el gasto promedio máximo para una duración de d días.

Dado el procedimiento de cálculo, los gastos que se obtienen para cada período de retorno están ordenados de modo que no corresponde a un hidrograma ordinario, por lo que es necesario distribuir dichos valores para obtener las avenidas de diseño. El ordenamiento consiste en que el hidrograma resultante tenga semejanza con el mayor hidrograma registrado en la estación, y por otro lado que los valores se agrupan con la condición de que el promedio máximo de n valores máximos consecutivos resulte igual al gasto promedio máximo (Qmed) correspondiente al período de retorno analizado.

ESTIMACIÓN CONJUNTA BIVARIADA (ECB)

Escalante (1998) propuso una técnica que consiste en estimar avenidas de diseño a través de la modelación conjunta de 4 variables que son obtenidas de los hidrogramas registrados: gasto de pico (Qp), volumen total (Vt), volumen acumulado previo al gasto de pico (Vp) yvolumen acumulado después del gasto de pico ( Vd). Las relaciones (Qp - Vt), (Qp - Vp), (Qp - Vd) y (Qp -Vd) se modelan por una distribución de probabilidad bivariada conocida como el modelo logístico (Gumbel, 1960):

Donde m es el parámetro de asociación , m > 1 y F(s) es la función de distribución marginal, la cual puede ser del tipo Gumbel, General de Valores Extremos o Gum-bel para dos poblaciones y θ representa el conjunto de parámetros a ser estimados (Raynal, 1985, Escalante 1998b).

Una vez que se estiman los parámetros para cada combinación bivariada, se plantea un sistema no lineal de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas a través de la ecuación 4. La idea del método es suponer que las cuatro componentes analizadas ocurren conjuntamente

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