Examen final estadística y probabilidades

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1. El número de camiones para descargar mercadería a un supermercado es una v.a. con distribución de Poisson. Si al 95.95% de las veces el número de camiones que llegan por hora es mayor o igual a 2, el 87.53% es mayor o igual a 3 y el 73.49% es mayor o igual a 4. El supermercado tiene sitio para descargar un máximo de tres camiones a la vez.        (5 P)[pic 3]

1. Si las descargas comienzan a las seis de la mañana y cada una de ellas dura por lo menos una hora, ¿cuál es la probabilidad de que a las 6 y 30 de la mañana el sitio para descargar esté lleno?
2. i) Identifique y justifique la distribución de probabilidad del tiempo hasta la primera llegada y determine la probabilidad que después de 25 minutos llegue el primer camión. ii) ¿Cuál es la probabilidad de observar más de 8 camiones para que llegue el primer camión después de 25 minutos?

1. a) Lanzamos un dardo sobre el plano para acertar en el círculo de radio √1.39 y centro (3, 2). Se supone que los lanzamientos son aleatorios y que cada coordenada (X1, X2) de impacto, sus componentes son variables aleatorias independientes distribuidas por X1 ∼ N(3, 1) y X2 ∼ N(2, 1) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más en el décimo lanzamiento haya logrado impactar el dardo tres veces dentro del círculo?[pic 4]

(2 P)

b) Una compañía de focos somete a prueba el tiempo de vida de su producto, toma una muestra de 10 focos, obteniéndose las siguientes duraciones en horas: 40, 15, 23, 17, 9, 35, 26, 12, 10, 37. Se desconoce si los tiempos de duración se distribuyen de forma normal. i) ¿Cuál es la probabilidad de la media muestral difiera de su parámetro en más de 5 horas? ii) Ahora si se desea mantener la diferencia citada con una probabilidad de 0.05, ¿qué tamaño de muestra de focos es necesario?        (3 P)

1. El Banco SEPRESTA debe decidir si otorga o no un crédito para financiar un proyecto ejecutado por la empresa Sipodemos S.A. cuyo periodo de vida es infinito. Los estudios de solvencia, liquidez y riesgo fueron favorables para la empresa Sipodemos; al Banco solamente le falta investigar acerca de la viabilidad del negocio en sí. Para esto el Banco solicita los flujos de caja del proyecto nuevo y la empresa dice que sólo podrá entregar una muestra representativa de los flujos de caja de los últimos 15 años. El Banco SEPRESTA tiene datos históricos sobre el comportamiento del sector y encuentra que la variabilidad es de aproximadamente 500 dólares al cuadrado, que el promedio histórico del sector es de 10000 dólares y que la proporción de flujo de caja rápida y eficiente es de 0.75. Luego el Banco decide que sólo le otorgará el crédito a la empresa en las siguientes condiciones: a) Cuando la probabilidad de que, “la variabilidad del flujo de caja de todo el proyecto sea inferior a la del sector” sea igual a 95%. b) Cuando la probabilidad de que, “el promedio del flujo de caja de todo el proyecto sea superior al promedio del sector”, sea igual a 95%. c) Cuando la probabilidad del porcentaje de flujo de caja rápida y eficiente observado sea superior a 0.85 ocurra en el 15% o más de los casos. En otras circunstancias, no otorgará el crédito. Bajo estas condiciones y asumiendo que la variable flujo de caja de todo el proyecto tiene distribución normal, ¿Qué valores deberán tener la media y la varianza muestral (para los 15 años presentados) y si el porcentaje de flujo de caja rápida y eficiente es admisible para que el Banco SEPRESTA otorgue el crédito?        (5 P)

1. El encargado de mantenimiento de una aerolínea de una compañía quiere probar si la cantidad media de desgaste de un eje después de un recorrido fijo de millas de motores de combustión interna, que llevan cobre y plomo como material antifricción es mayor a 3.50 cm. Para lo cual midió el desgaste de ocho motores, resultando en una media igual a 3.72 cm. y una desviación estándar igual a 1.15 cm. Suponiendo distribución normal.        (5.P)

1. Haga esta prueba de hipótesis a un nivel de significación del 5%.
2. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar que la media es 3.5 cm. Si realmente la media poblacional es igual a 4 cm. y la desviación estándar es igual a 1.25 cm.
3. La compañía aérea sabe por experiencia que el 12% de las reservas telefónicas de plazas no se llevan a efecto, de modo que reserva más plazas de las que dispone. Si en un vuelo hay 150 plazas y la compañía reserva 160 plazas, ¿cuál es la probabilidad de que, al menos un pasajero no tenga plaza disponible a la hora de embarcar?

El profesor del curso

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