Exponentes

Exponentes

Los exponentes también se llaman potencias o índices

El exponente de un número nos dice cuántas veces se usa el número en una multiplicación.

En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

• En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Más ejemplos:

Ejemplo: 53 = 5 × 5 × 5 = 125

• En palabras: 53 se puede leer "5 a la tercera potencia", "5 a la potencia 3" o simplemente "5 al cubo"

Ejemplo: 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

• En palabras: 24 se puede leer "2 a la cuarta potencia" o "2 a la potencia 4" o simplemente "2 a la cuarta"

Y los exponentes hacen más fácil escribir muchas multiplicaciones

Ejemplo: 96 es más fácil de escribir y leer que 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9

Puedes multiplicar cualquier número por sí mismo tantas veces como quieras con esta notación.

Así que, en general:

an te dice que multipliques a por sí mismo,

y hay n de esos a's:

Exponentes negativos

¿Negativos? ¿Qué es lo contrario de multiplicar? ¡Dividir! Un exponente negativo significa cuántas veces se divide entre el número.

Ejemplo: 8-1 = 1 ÷ 8 = 0.125

O varias divisiones:

Ejemplo: 5-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0.008

Pero esto lo podemos hacer más fácilmente:

5-3 también se podría calcular así:

1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/53 = 1/125 = 0.008

Este último ejemplo nos muestra una manera más fácil de manejar exponentes negativos:

• Calcula la potencia positiva (an)

• Después calcula el recíproco (o sea 1/an)

Más ejemplos:

Exponente negativo Recíproco del exponente positivo Respuesta

4-2 = 1 / 42 = 1/16 = 0.0625

10-3 = 1 / 103 = 1/1,000 = 0.001

¿Qué pasa si el exponente es 1 o 0?

Si el exponente es 1, entonces tienes el número solo (por ejemplo 91 = 9)

Si el exponente es 0, la respuesta es 1 (por ejemplo 90 = 1)

Tiene sentido

Mi método favorito es empezar con "1" y multiplicar y o dividir tantas veces como diga el exponente, y tendrás la respuesta correcta, por ejemplo:

Ejemplo: potencias de 5

... etc...

52 1 × 5 × 5 25

51 1 × 5 5

50 1 1

5-1 1 ÷ 5 0.2

5-2 1 ÷ 5 ÷ 5 0.04

... etc...

Si miras esta tabla, verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo (y bastante sencillo) patrón.

Leyes de los exponentes

Los exponentes también se llaman potencias o índices

El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.

En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

• En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Todo lo que necesitas saber...

Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de tres ideas:

El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces

Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir

Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir hacer la raíz n-ésima:

Si entiendes esto, ¡entonces entiendes todos los exponentes!

Y todas las reglas que siguen se basan en esas ideas.

Leyes de los exponentes

Aquí están las leyes (las explicaciones están después):

No. Ley Ejemplo

1 x1 = x 61 = 6

2 x0 = 1 70 = 1

3 x-1 = 1/x 4-1 = ¼

4 xmxn = xm+n x2x3 = x2+3 = x5

5 xm/xn = xm-n x4/x2 = x4-2 = x2

6 (xm)n = xmn (x2)3 = x2×3 = x6

7 (xy)n = xnyn (xy)3 = x3y3

8 (x/y)n = xn/yn (x/y)2 = x2 / y2

9 x-n = 1/xn x-3 = 1/x3

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Explicaciones de las leyes

Las tres primeras (1º,2º y3º) leyes y la 9º (x1 = x, x0 = 1, x-1 = 1/x, x-n = 1/xn) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo:

Ejemplo: potencias de 5

... etc...

52 1 × 5 × 5 25

51 1 × 5 5

50 1 1

5-1 1 ÷ 5 0.2

5-2 1 ÷ 5 ÷ 5 0.04

... etc...

verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye).

4º La ley que dice que xmxn = xm+n

En xmxn,

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