FASE 4 METODOS NUMERICOS

Actividades a desarrollar

A continuación, encontrará los ejercicios que conforman los tres aportes que deberá entregar en forma individual en el foro del trabajo colaborativo, recuerde utilizar un editor de ecuaciones.

Aporte 1.

Contenidos a revisar:

Nieves, H. A. (2014). Métodos numéricos: aplicados a la ingeniería: aplicados a la ingeniería. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. Pág. 454 – 467. Disponible en Entorno de conocimiento.

Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2007). Métodos numéricos para ingenieros (5a. ed.). Pág. 719 – 730. Disponible en Entorno de conocimiento.

Solucionar los ejercicios del 1 al 3.

1. Plantee y solucione tres ejercicios sobre Diferenciación Numérica explicando paso a paso el procedimiento utilizado.

Ejercicio 1.

Aproximar la derivada de  por métodos numéricos en el punto x = 1.5  con h = 0.5[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

        Solución real:

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

        Error relativo entre las soluciones reales y la aproximada:

        [pic 15][pic 16]

Ejercicio 2.

Calculadora de ecuaciones diferenciales de variables separables.

[pic 17]

Reescribir EDO de primer orden

[pic 18]

[pic 19]

Se despeja r():  r()=[pic 20][pic 21][pic 22]

[pic 23]

Ejercicio 3.

Dados los puntos de datos uniformemente espaciados:

Calcular f’(x)        y   f’’(x)        en x = 0 y x= 0.2 usando aproximaciones de diferencias finitas de Ơ(h2 ).

Solución:

Usaremos el método de aproximaciones de diferencias finitas de Ơ (h2). De la siguiente tabla tenemos que

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

De la siguiente tabla de coeficientes de las aproximaciones centrales de las diferencias finitas de Ơ(h2)

[pic 27]

[pic 28]

1. Solucione el siguiente ejercicio utilizando la Regla del Trapecio. (n= 4)

             [pic 29][pic 30]

DESARROLLO

1. [pic 31]

Regla del trapecio

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

1.  [pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

1. Soluciones los siguientes ejercicios utilizando la Regla de Simpson 1/3 y 3/8. (n= 4)

          [pic 49][pic 50]

DESARROLLO:

REGLA DE SIMPSON 1/3.

a). [pic 51]

Formulas

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

b). [pic 61]

Formulas

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

[pic 67]

[pic 68]

[pic 69]

[pic 70]

REGLA DEL 3/8

a). [pic 71]

formula

[pic 72]

[pic 73]

[pic 74]

[pic 75]

[pic 76]

[pic 77]

[pic 78]

b). [pic 79]

[pic 80]

[pic 83]

[pic 84]

[pic 85]

[pic 86]

Aporte 2.

Contenidos a revisar:

Nieves, H. A. (2014). Métodos numéricos: aplicados a la ingeniería: aplicados a la ingeniería. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. Pág. 468 – 490. Disponible en Entorno de conocimiento.

Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2007). Métodos numéricos para ingenieros (5a. ed.). Pág. 730 – 745. Disponible en Entorno de conocimiento.

Solucionar los ejercicios del 4 al 6.

1. Solucione los siguientes ejercicios utilizando la Integración de Romberg. Usando segmentos de longitud 1, 1/2 y 1/4.

       [pic 87][pic 88]

DESARROLLO

•        [pic 89]

Se calcula las integrales del nivel 1

[pic 90]

[pic 91]

[pic 92]

[pic 93]

[pic 94]

segundo nivel de aproximación usando la formula anterior:

[pic 95]

[pic 101]

: Integral más exacta[pic 102]

: Integral menos exacta[pic 103]

Entonces, tenemos que:

[pic 104]

[pic 105]

• [pic 106]

calculamos las integrales del nivel 1, usando la regla del trapecio para las longitudes de segmentos indicadas:

[pic 107]

[pic 108]

[pic 109]

[pic 110]

[pic 111]

segundo nivel de aproximación:

[pic 112]

Donde  es la integral menos exacta y   es la más exacta[pic 113][pic 114]

[pic 120]

: Integral más exacta[pic 121]

: Integral menos exacta[pic 122]

[pic 123]

[pic 124]

1. Solucione paso a paso los siguientes ejercicios de Integrales Múltiples:

            [pic 125]                [pic 126]

DESARROLLO

[pic 127]

[pic 128]

[pic 129]

[pic 130]

Calcular la integral indefinida:

[pic 131]

[pic 132]

[pic 133]

[pic 134]

[pic 135]

[pic 136]

[pic 137]

[pic 138]

[pic 139]

=2yx

[pic 140]

Se agrega la constant C

[pic 141]

Calcular los limites

[pic 142]

[pic 143]

Se simplifica

[pic 144]

[pic 145]

[pic 146]

[pic 147]

[pic 148]

[pic 149]

Se divide el intervalo  en dos subintervalos [pic 150]

[pic 151]

[pic 152]

[pic 153]

[pic 154]

[pic 155]

[pic 156]

[pic 157]

[pic 158]

[pic 159]

Se sustituyen los valores

 [pic 160][pic 161]

1. Solucionar la ecuación de valor inicial  ,  usando el Método de Euler con h = 0.5 y considerando que Xo = 0.[pic 162][pic 163]

 , [pic 164][pic 165]

Método de Euler

h = 0.5 considerando  xo = 0.

Solución

xo = 0           , [pic 166][pic 167]

los puntos son:

h = 0.5

x = 0.5 , 1.0 , 1.5 , 2.0  y 2.5 .   f(x,y) = (√y )/(2x+1 )

xo=0   yo= 4

yn+1 = yn + h*f(xn,yn)

n=0

x1 = xo + h = 0 + 0.5 = 0.5

y1 = yo + h * f(xo,yo)

y1 = 4 + 0.5* (√4 )/(2*0 + 1 ) = 5

n = 1

 y2 = y1 + h*f(x1,y1)

 y2 = 5 + 0.5 * (√5 )/( 2*0.5 + 1 ) = 5.5590    

para n = 2

 y3 = 5.5590 + 0.5 * (√5.5590  )/( 2* 1 +1 ) = 5.9519

para n = 3

y4 = 5.9519 + 0.5 *( √5.9519 ) /( 2* 1.5 + 1 ) = 6.2568

n = 3

 y5 = 6.2568 + 0.5 * ( √6.2568 )/( 2*2 + 1) = 6.5069 .

n = 4

 y6 = 6.5069 + 0.5 * ( √6.5069 ) / ( 2* 2.5 + 1 ) = 6.7194

Aporte 3.

Contenidos a revisar:

Nieves, H. A. (2014). Métodos numéricos: aplicados a la ingeniería: aplicados a la ingeniería. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. Pág. 491 – 505. Disponible en Entorno de conocimiento.

Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2007). Métodos numéricos para ingenieros (5a. ed.). Pág. 745 – 756. Disponible en Entorno de conocimiento.

Solucionar los ejercicios 7 y 8.

1. Aplicar el Método de Taylor de orden dos a la ecuación y´ = Sen(xy), con la condición inicial: y(0) = 1. Utilizar h = 0.2

[pic 168]

[pic 169]

[pic 170]

[pic 171]

[pic 172]

[pic 173]

[pic 174]

[pic 175]

Entonces tenemos que

[pic 176]

[pic 177]

[pic 178]

La solución analítica por series de potencias es: [pic 179]

Luego, el error relativo es:

[pic 180]

[pic 181]

1. Solucionar el siguiente problema de valor inicial utilizando el Método de Runge-Kutta de segundo orden.

[pic 182]

Tomamos [pic 183]

[pic 184]

[pic 185]

[pic 186]

[pic 187]

[pic 188]

[pic 189]

[pic 190]

[pic 191]

[pic 192]

[pic 193]

[pic 194]

[pic 195]

[pic 196]

[pic 197]

[pic 198]

[pic 199]

solución analítica:

[pic 200]

El error relativo:

[pic 201]

[pic 202]