FISICA

I. Funciones

1. Concepto de función

y = es función porque a cada valor de

la variable independiente x le corresponde

un único valor de la variable dependiente y.

• Imágenes: f(3) = =

• Dominio: x - 1 = 0, x = 1  D(f) = R - {1}

• Recorrido: En la gráfica observamos los

valores que toma la variable y  Rec(f) = R - {2}

1 Halla f(-1), f(0) y f(1) para cada una de las siguientes funciones:

a) f(x) = -2x2 + 3x + 1 b) f(x) = c) f(x) =

f(-1) = f(-1) = f(-1) =

f(0) = f(0) = f(0) =

f(1) = f(1) = f(1) =

2 Halla el valor de f(-2), f(0) y f(1) en cada una de las gráficas siguientes:

a)

b)

c)

3 Halla el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:

a) y = -x - 2

b) y = 1 –x2

c) y = (Sugerencia: observa que: = -x – 5 + )

d) y =

e) y =

f) y =

4 Halla el dominio y el recorrido de las funciones cuyas gráficas son:

a) b) c)

Dominio: Dominio: Dominio:

Recorrido: Recorrido: Recorrido:

2. Funciones definidas a trozos.

x2 si -2  x < 2

Representar la función f(x) =

-3 + x si 2  x  4

Primero hacemos la representación de cada parte y, finalmente, los unimos para obtener la gráfica pedida.

5 Representa las siguientes funciones definidas a trozos:

2 si 0  x  1

a) f(x) = 3x - 1 si 1 < x < 2

5 si 2  x  4

x + 3 si -4  x < -1

b) f(x) = 2x + 2 si -1  x < 2

4 si 2  x < 4

1/x si x < 0

c) f(x) = x2 si 0  x < 2

2 si 2  x

3. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.

• Variación de una función en un intervalo

Hallar la variación de la función f(x) = x2 en el intervalo [0, 2].

La variación es: f(2) - f(0) = 22 - 0 = 4

• Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos

6 Halla la variación de las funciones siguientes en el intervalo [-2, 2].

a) f(x) =

b) f(x) =

c) f(x) = |x|

7 Observa la gráfica de las siguientes funciones y di si crece o decrece en el intervalo dado.

a) En [1, 3] b) En [-2, 1] c) En [-2, 2]

8 Observa la gráfica de cada una de las siguientes funciones y di en qué intervalos crece o decrece la función. Halla, además, los máximos y los mínimos absolutos, si los hay

a) b) c)

Crece en: Crece en: Crece en:

Decrece en : Decrece en : Decrece en:

Máximos en: Máximos en: Máximos en:

Mínimos en: Mínimos en: Mínimos en.

9 Di si la función es creciente o decreciente en los puntos que se indican. ¿Representa alguno de ellos un máximo o mínimo absoluto?

a) x = -1 b) x = 3 c) x = 0

10 Indica en qué intervalos son crecientes o decrecientes las siguientes funciones:

a) f(x) = 2x + 4

b) f(x) = -x + 4

c) f(x) = -x2

d) f(x) = |x|

4. Puntos de corte con los ejes.

Hallar los puntos de corte con los ejes de la función f(x) = -x2 + 5x + 14

• Puntos de corte con el eje X: y = f(0)

y = -02 + 5•0 + 14 = 14 P(0, 14)

• Puntos de corte con el eje Y: f(x) = 0

-x2 + 5x + 14 = 0

x1 = -2, R(-2, 0)

x2 = 7, Q(7, 0)

11 Halla los puntos de corte con los ejes en las siguientes funciones:

a) b) c)

12 Halla los puntos de corte con los ejes en las siguientes funciones:

a) f(x) = x3 - 8

b) f(x) = (x - 3)2 - 16

c) f(x) =

2x + 1 si x  - 2

d) f(x) =

-x + 7 si x > 2

5. Continuidad.

13 Estudia la continuidad de las siguientes funciones dadas por sus gráficas.

a) b) c)

14 Di en qué puntos la función es discontinua. En los puntos obtenidos, ¿es posible dar algún valor a f(x) para que la función sea continua?

a) b) c)

15 Representa la función f(x) e indica si tiene algún punto de discontinuidad.

1/x si -2  x < 0

f(x) = x2 si 0  x  2

-2x + 6 si 2 < x  4

6. Funciones simétricas.

Simetría respecto del eje Y Simetría respecto del origen No simétrica

16 Di qué tipo de simetría presentan las siguientes funciones dadas por sus gráficas.

a) b) c)

17 Di qué tipo de simetría presentan las siguientes funciones:

a) f(x) = x5 – 2x3

b) f(x) =

c) f(x) =

d) f(x) = x3 + x2 - x + 1

18 Completa las siguientes gráficas para que correspondan a funciones simétricas.

a) Respecto del eje Y b) Respecto del origen.

7. Funciones periódicas.

f(x + T) = f(x)

T es el periodo de la función.

19 Di cuáles de las siguientes funciones son periódicas. En caso afirmativo, determina su periodo.

a) c)

b) d)

20 Dibuja la gráfica de una función periódica, no continua en x = 1, que sea, al menos, creciente en (-3, -1) y en (1, 3), decreciente en (-1, 1) y continua en (-3, 1).

8. Lectura de gráficas.

Estudiar la gráfica que representa la altura que alcanza un punto determinado del borde de una moneda, cuando ésta rueda sobre una recta en una tabla horizontal sin deslizarse.

• Dominio: [0; 15,7]. La moneda da dos vueltas completas.

• Recorddo: [0; 2,5]. El punto alcanza todas las alturas menores o iguales al diámetro.

• Continuidad: es continua en todo su dominio. La altura del punto no cambia de repente.

• Pedodicidad: la gráfica se repite cada vuelta completa de la moneda (7,9 cm).

• Puntos de corte con el eje X: (0, 0), (7,9; 0), (15,7; 0). El punto parte de la posición (0, 0) y, tras la primera vuelta, vuelve a tocar la tabla, para volverla a tocar en la segunda vuelta completa.

• Punto de corte con el eje Y: (0, 0). Colocamos el punto coincidiendo con el origen; su altura es cero.

• Máximos: (3,9; 2,5), (11,8; 2,5). La altura máxima del punto es el diámetro de la moneda.

• Minimos: (0, 0), (7,9; 0), (15,7; 0). La altura mínima se alcanza cuando el punto toca la tabla.

• Crecimiento: (0; 3,9), (7,9; 11,8). Al rodar la moneda, cuando el punto toca la tabla éste empieza a tomar altura hasta alcanzar un máximo.

• Decrecimiento: (3,9; 7,9), (11,8; 15,7). Después

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