Flujo eléctrico a través de una superficie cilíndrica.

Flujo eléctrico a través de una superficie cilíndrica.

Supóngase una superficie cilíndrica colocada dentro de un campo uniforme tal como muestra la figura: El flujo puede escribirse como la suma de tres términos, (a) una integral en la tapa izquierda del cilindro, (b) una integral en la superficie cilíndrica y (c) una integral en la tapa derecha:

(3)

Para la tapa izquierda, el ángulo , para todos los puntos, es de , tiene un valor constante y los vectores son todos paralelos.

Entonces:

(4)

siendo el área de la tapa. Análogamente, para la tapa derecha:

(5)

Finalmente, para la superficie cilíndrica:

(6)

Por consiguiente: da cero ya que las mismas líneas de fuerza que entran, después salen del cilindro.

(7)

Flujo para una superficie esférica con una carga puntual en su interior

Flujo eléctrico de una carga puntual en el interior de una esfera.

Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual q en su centro tal como muestra la figura. El campo eléctrico es paralelo al vector superficie , y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica.

En consecuencia:

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Deducciones

Deducción de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb

Este teorema aplicado al campo eléctrico creado por una carga puntual es equivalente a la ley de Coulomb de la interacción electrostática.

La ley de Gauss puede deducirse matemáticamente a través del uso del concepto de ángulo sólido, que es un concepto muy similar a los factores de vista conocidos en la transferencia de calor por radiación.

El ángulo sólido que es subtendido por sobre una superficie esférica, se define como:

siendo el radio de la

como el área total de la esfera es el ángulo sólido para ‘’toda la esfera’’ es:

la unidad de este ángulo es el estereorradián (sr)

Si el área no es perpendicular a las líneas que salen del origen que subtiende a , se busca la proyección normal, que es:

Si se tiene una carga "q" rodeada por una superficie cualquiera, para calcular el flujo que atraviesa esta superficie es necesario encontrar para cada elemento de área de la superficie, para luego sumarlos. Como la superficie que puede estar rodeando a la carga puede ser tan compleja como quiera, es mejor encontrar una relación sencilla para esta operación:

De esta manera es el mismo ángulo sólido subentendido por una superficie esférica. Como se mostró un poco más arriba para cualquier esfera, de cualquier radio. de esta forma al sumar todos los flujos que atraviesan a la superficie queda:

que es la forma integral de la ley de Gauss. La ley de Coulomb

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