Formulacion variacional FORMULACIÓN VARIACIONAL DE PROBLEMAS ELÍPTICOS

FORMULACIÓN VARIACIONAL DE PROBLEMAS ELÍPTICOS

Autores: Henry López, Bryan Pallasco

OBJETIVOS:

Conocer los conceptos primarios del tema escogido para explicarlos en clase, analizar y resolver sus aplicaciones.

Estudiar los problemas elípticos y resolverlos con el uso de ecuaciones diferenciales (parciales).

Analizar las aplicaciones y ver en qué áreas de la vida real se puede ocupar o relacionar el tema.

RESUMEN:

El método del elemento finito es una técnica numérica para resolver problemas que se pueden describir por ecuaciones diferenciales parciales. El método del elemento finito es una herramienta de análisis muy poderosa que permite obtener soluciones aproximadas a una amplia variedad de problemas matemáticos o aplicaciones. (Escobar, 2017)

Formulación variacional

La formulación débil (o formulación variacional) de un problema definido mediante ecuaciones diferenciales es una forma alternativa en que dichas ecuaciones se escriben en forma integral, dando lugar a ecuaciones tratables mediante los métodos del álgebra lineal sobre un espacio vectorial de dimensión infinita o espacio funcional. ( Ciarlet, 1978)

Problemas elípticos

Los problemas elípticos son situaciones estacionarias que suelen derivar de leyes de conservación o fenómenos en los que interviene un potencial escalar (magnitud que puede describir una variación), exigen ciertas propiedades a las funciones solución con la formulación débil o variacional. (Nuñez Jimenez, 2013)

Ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden

Una ecuación en derivadas parciales, lineal de segundo orden con dos variables independientes y con coeficientes constantes puede pertenecer a uno de los tres tipos generales. Dicha clasificación solo depende de los coeficientes de las derivadas de segundo orden, suponiendo que al menos uno de los coeficientes es distinto de cero.

La forma general de la ecuación parcial lineal de segundo orden homogénea es:

Ecuación 1: Forma general de la ecuación parcial lineal de segundo orden

Donde A, B, C, D, E y F son constantes reales y dependiendo del valor del discriminante las ecuaciones diferenciales se clasifican en tres grupos: elípticas, parabólicas e hiperbólicas. (Aguirre Parres, 2015)

Ejemplo de formulación débil de una ecuación diferencial (Poisson):

El ejemplo trata de la ecuación de Poisson que una vez expresada en forma débil o variacional da lugar a un problema variacional elíptico definido sobre un espacio lineal:

Dominio: todos los reales

Sin embargo, para reformular este problema en forma débil debemos introducir alguna estructura adicional para definir propiamente los espacios funcionales sobre los que se

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