Formulario Básico De Cónicas

FORMULARIO BÁSICO DE CÓNICAS

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Sean P_1 (x_1,y_1 ) y P_2 (x_2,y_2 )

d= √((x_2- x_1 )^2+(y_2- y_1 )^2 ) = √((x_1- x_2 )^2+(y_1- y_2 )^2 )

PUNTO MEDIO

Las coordenadas del punto medio de _((P_1 P_2 ) _ ) son:

x_m= (x_(1+ ) x_2)/2 y_m= (y_(1+ ) y_2)/2

RECTA

PENDIENTE

m = (y_(2- ) y_1)/x_(2- x_1 )

ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA

_ = ang tg (y_(2- ) y_1)/x_(2- x_1 )

Si _ _ (0o, 90o), la pendiente es positiva, si _ _ (90o, 180o), la pendiente es negativa.

ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE

y - y1 = m (x - x1)

ECUACIÓN PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN

y = mx + b

ECUACIÓN DE LA RECTA CON DOS PUNTOS CONOCIDOS

y -_ y__1 = (y_2- y_1)/x_(2- x_1 ) (x- x_1)

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

Ax + By + C = 0

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Sean el punto P(x1,y1) y la recta Ax + By + C = 0

d= (A x_1+ B y_1+ C)/(+/- √(A^2+ B^2 ))

el signo del radical es opuesto al signo de C.

Si d es positiva, el punto y el origen están a uno y otro lado de la recta. Si d es negativa, se localizan en el mismo lado.

RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES

Sean las rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2.

1.- L1 y L2 son paralelas si y sólo si m_1= m_2

2.- L1 y L2 son perpendiculares si m_1= -1/m_2

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Sean las rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2. El ángulo _ medido en sentido contrario a las manecillas del reloj, desde L1 a L2 es

_=ang tan__ (m_2- m_1)/(1+ m_2 m_1 )_

_

CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN

x2 + y2 = r2

CIRCUNFERENCIA CON CENTRO C(h,k)

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Sea el indicador N = D2 + E2 - 4F

Si N > 0 la ecuación representa una circunferencia con centro C( -D/2 , -E/2) y radio r= _ √N

Si N = 0 la ecuación representa un punto de coordenadas ( -D/2 , -E/2)

Si N < 0 la ec. representa ningún lugar geométrico

_

PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE X

y2 = 4px

F( p,0 )

L: x = -p

LR = |4p|

Si p es positiva, la parábola abre hacia la derecha

p es negativa, abre hacia la izquierda

PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE Y

x2 = 4py

F( 0,p )

L: y = -p

LR = |4p|

Si p es positiva, la parábola abre hacia arriba

p es negativa, abre hacia abajo

PARÁBOLA CON VÉRTICE V(h,k) Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE X

(y - k)2 = 4p (x - h)

F( h+p , k )

L: x = h - p

LR = |4p|

Si p es positiva, la parábola abre hacia la derecha

p es negativa, abre hacia la izquierda

PARÁBOLA CON VÉRTICE V(h,k) Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y

(x - h)2 = 4p (y - k)

F( h , k+p )

L: y = k - p

LR = |4p|

Si p es positiva, la parábola abre hacia arriba

p es negativa, abre hacia abajo

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA

A x2 + C y2 + Dx + Ey + F = 0

Representa una parábola cuando cumple las siguientes condiciones:

1.- Si A = 0, C ≠ 0 y D ≠ 0 (C y2 + Dx + Ey + F = 0) la ecuación representa una parábola con eje focal coincidente o paralelo al eje x.

2.- Si A ≠ 0, C = 0 y E ≠ 0 (A x2 + Dx + Ey + F = 0) la ecuación representa una parábola cuyo eje focal es coincidente o paralelo al eje y.

ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE X

x2 + y2 = 1 a > b

a2 b2

c = √ a2 - b2

F1 ( -c,0 ) F2 ( c,0 )

V1 ( -a,0 ) V2 ( a,0 )

ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE Y

x2 + y2 = 1 a > b

b2 a2

F1 ( 0,-c ) F2 ( 0,c )

V1 ( 0,-a ) V2 ( 0,a )

EN AMBOS CASOS

LR = 2b2

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