Formulario De Límites

Definición de Límite:

lim┬(x→x_0 )⁡〖f(x)=L ⟺ ∀ε>0,∃ δ>0 / ∀ x∈D_f 〗∧ 0<|x-x_0 |<δ⟹|f(x)-L|<ε

Teorema de Unicidad de Límite: El límite de una función existe, es único, es decir si: lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L_1 y 〗 lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L_2 〗

Propiedades Sobre Límites de Funciones:

Sean: lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L , 〗 lim┬(x→a)⁡〖f(x)=M y k una constante 〗

lim┬(x→a)⁡〖k=k〗

lim┬(x→a)⁡〖kf(x)〗⁡〖=k lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗 〗

lim┬(x→a)⁡〖(f(x)±g(x))=lim┬(x→a)⁡f(x)-lim┬(x→a)⁡〖g(x)〗 〗=L∓M

lim┬(x→a)⁡〖(f(x).g(x))=(lim┬(x→a)⁡〖f(x))〗.(lim┬(x→a)⁡〖g(x))〗 〗=L.M

lim┬(x→a)⁡〖1/(g(x))=1/lim┬(x→a)⁡〖g(x)〗 〗=1/M,si M≠0

lim┬(x→a)⁡〖(f(x))/(g(x))=lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗/lim┬(x→a)⁡〖g(x)〗 〗=L/M,si M≠0,g(x)≠0

lim┬(x→a)⁡〖〖(f(x))〗^n 〗=lim┬(x→a)⁡〖〖(f(x))〗^n 〗,n entero positivo

lim┬(x→a)⁡〖√(n&f(x) )=√(n&lim┬(x→a) f(x)),∀ n par positivo〗

lim┬(x→a)⁡|f(x)|⁡〖=|lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗 |〗=|L|

Límites Laterales:

Para que existan lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗 debe cumplirse: *∃(lim)┬(x→a)⁡〖f(x)=L ⟺(lim)┬(x→a^- )⁡〖f(x)=(lim)┬(x→a^+ ) g(x)=L〗 〗

(lim)┬(x→a^- )⁡〖f(x)=L ⟺(∀ε>0,∃ δ>0 / si a〗-δ<x<a⟹|f(x)-L|<ε) Lateral Izquierdo

(lim)┬(x→a^∓ )⁡〖f(x)=L ⟺(∀ε>0,∃ δ>0 / si a〗<x<a+δ⟹|f(x)-L|<ε) Lateral Derecho

Límites al Infinito:

(lim)┬(x→+∞)⁡〖f(x)=L ⟺(∀ε>0,∃ N>0 / si 〗 x>N⟹|f(x)-L|<ε),f:<a,∞+>⟶R

(lim)┬(x→-∞)⁡〖f(x)=L ⟺(∀ε>0,∃ M<0 / si 〗 x<0⟹|f(x)-L|<ε), f:<-∞,b>⟶R

Límites Infinitos:

lim┬(x→c)⁡〖f(x)=+∞ ⟺(∀ N>0,∃ δ>0 / sí〗 0<|x-c|<δ⟹f(x)>N

lim┬(x→b)⁡〖f(x)=-∞ ⟺(∀ N<0,∃ δ>0 / sí〗 0<|x-b|<δ⟹f(x)>N

Notación: (lim)┬(x→0^+ )⁡〖a/x=+∞,a>0〗

(lim)┬(x→0^- )⁡〖a/x=-∞,a<0〗

(lim)┬(x→0)⁡〖a/x=0,a≠0〗

Propiedades:

sí c>0 y g(x)⟶0,para valores positivos de g(x)entonces: lim┬(x→a)⁡〖f(x)/g(x) =〗+∞

sí c>0 y g(x)⟶0,para valores negativos de g(x)entonces: lim┬(x→a)⁡〖f(x)/g(x) =〗-∞

sí c<0 y g(x)⟶0,para valores positivos de g(x)entonces: lim┬(x→a)⁡〖f(x)/g(x) =〗-∞

sí c<0 y g(x)⟶0,para valores pnegativos de g(x)entonces: lim┬(x→a)⁡〖f(x)/g(x) =〗+∞

Teorema de sándwich:

f(x)≤g(x)≤h(x),∀

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