Fractales

Fractales

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En 1975 el matemático Benoit Mandelbrot llamó fractal a un objeto semigeométrico cuya estructura base se repite a diferentes escalas. El término proviene del latín fractus, que significa roto o fragmentado. La siguiente figura muestra una fracción de un fractal Mandelbrot.

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Muchas estructuras naturales son del tipo fractal, por ejemplo la planta llamada helecho. Se trata de objetos autosemejantes o autosimilares.

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Aunque el término fractal es relativamente reciente, los fractales eran muy conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX.

En la década de 1970 se atribuyeron las siguientes características a un objeto geométrico fractal:

• Es demasiado irregular para describirse en términos geométricos tradicionales.
• Es autosimilar, esto es, todo es exactamente similar a una parte de sí mismo. Dicho de otra manera, está conformado por copias más pequeñas de si mismo.
• Se define mediante un algoritmo recursivo.

Ejemplos muy conocidos y estudiados de este tipo son los llamados conjuntos de Julia, con los que trabajaron Pierre Fatou y Gaston Julia en la década de 1920.  Estos conjuntos surgen como una aplicación repetida de ciertas funciones definidas en los complejos y con valores complejos, llamadas funciones holomorfas. Algunas de estas funciones son del tipo polinomial, y en tal caso es posible que el resultado tienda a infinito.  El conjunto de valores complejos que no se escapan al infinito mediante la aplicación de esta función se conoce como conjunto de Julia relleno. Estos conjuntos se represetan mediante un algoritmo de tiempo de escape, donde cada pixel se colorea según el número de iteraciones necesarias para escapar. Suele usarse el color negro para representar los puntos que no han escapado.

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A continuación se presentan algunas aplicaciones interesantes de fractales.

1. Comprensión de Imágenes.

Se define como el proceso de reducir la cantidad de datos necesarios para representar eficazmente una imagen. Esto se deriva de la falta de capacidad de los dispositivos de almacenamiento para guardar, a bajo costo,  la cantidad de información que genera una imagen o una serie de datos. En especial, la comprensión de datos, cobra gran importancia en Internet, ya que cuanto menor sea un archivo que se desea enviar, menos tiempo tardará en llegar y menos costoso será enviarlo.

La comprensión fractal es un método de comprensión con pérdida de información para imágenes digitales basado en fractales. Entre los métodos de pérdida de información destaca el de Lossy. Un ejemplo de dicho método es el formato JPEG, que permite una comprensión de 25 a 1, sin una pérdida excesiva de calidad.

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1. Aplicaciones en manifestaciones artísticas.

En música, los fractales se emplean tanto en la composición armónica y rítmica de una melodía como en la síntesis de sonidos. Esto es posible gracias a que en composición existen los llamados micromodos como Apophysis ó Ultra Fractal, es  posible diseñar imágenes con técnicas diversas, ya sea utilizando parámetros, geometría de triángulos o transformaciones aleatorias (a veces llamadas mutaciones).

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