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 INTRODUCCIÓN

En este trabajo usaremos el principio de trabajo virtual para determinar la posición de equilibrio de una serie de cuerpos rígidos conectados. Aunque la aplicación requiere matemáticas más sofisticadas que en el caso de las ecuaciones de equilibrio, se mostrará que una vez establecida la ecuación de trabajo virtual, la solución se obtiene directamente, sin tener que desmembrar el sistema para obtener relaciones entre las fuerzas que ocurren en las conexiones.

 MARCO TEÓRICO

El principio del trabajo virtual, fue formulado por Bernoulli y otros científicos del siglo XVII y junto con el principio de D’Alembert constituyen la base para encontrar las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico. En particular, este enunciado del principio de trabajo virtual requiere de sistemas mecánicos ideales, en estos sistemas las fuerzas de restricción no realizan trabajo.

La obtención del mismo deriva de la formulación débil (o integral) del problema elástico, que se desarrolla en un marco más amplio y con mucha mayor generalidad, de hecho, una gran cantidad de los métodos de cálculo modernos se basan en la formulación débil de los problemas.

El principio de los trabajos virtuales es un método utilizado en resistencia de materiales para el cálculo de desplazamientos reales en estructuras isostáticas e hiperestáticas, y para el cálculo de las incógnitas que no podemos abordar con el equilibrio en las estructuras hiperestáticas. El principio de los trabajos virtuales puede derivarse del principio de D'Alembert, que a su vez puede obtenerse de la mecánica newtoniana o más generalmente del principio de mínima acción.

El principio tiene dos partes

1. Si un sistema mecánico ideal está en equilibrio, el trabajo virtual neto de todas las fuerzas debe desaparecer para todos los posibles conjuntos de desplazamientos virtuales.

2. Si el trabajo virtual neto de todas las fuerzas activas desaparece para todos los posibles conjuntos de desplazamientos virtuales un sistema mecánico ideal está en un estado de equilibrio generalizado.

 DESARROLLO

1. GENERALIDADES

1.1 Trabajo de un Vector

El Trabajo W de un vector es el producto algebraico de su magnitud por el desplazamiento de su punto de aplicación proyectado sobre la dirección del vector. Sea entonces P una fuerza y M su punto de aplicación, ver Fig. 1.1, donde M se mueve entre los puntos A y B, siguiendo la trayectoria cualquiera mostrada.

Figura 1.1 Fuerza P actuando en M

Entonces por definición:

si P se mantiene constante durante el desplazamiento,

Que también puede ser escrita como el producto escalar

El trabajo es una magnitud escalar, tendrá un valor negativo si el desplazamiento se produce en sentido contrario al del vector, pudiendo también tener un valor nulo si el punto M inicia su desplazamiento en A y después de seguir cualquier trayectoria termina en el mismo punto A (A=B).

El mismo criterio será aplicado en el caso de que el vector sea un momento.

Como se sabe, la dirección del momento es una recta perpendicular al plano que contiene al par, siendo su efecto la rotación alrededor del eje que es precisamente la recta dirección del momento. Entonces, el trabajo del momento será el producto escalar del vector momento M por el desplazamiento del vector en su propia dirección, que en este caso corresponde al giro µ ver Fig.1.2, es decir:

Figura 1.2 Momento M actuando en O.

1.2 Comportamiento Linealmente Elástico

Cuando el material de que está hecha la barra cumple la Ley de Hooke, es decir, la deformación es proporcional a la carga, entonces la línea OAB es una recta expresada por la Ley de Hooke, entonces, despejando la carga Pt en función del desplazamiento δt e integrando entre 0 y δ se tiene:

La ecuación recibe el nombre de TEOREMA DE CLAPEYRON (1799-1864), a partir de aquella es útil expresar la energía en función del máximo valor de la carga P y el diferencial de deformación, de modo que cuando el comportamiento es linealmente elástico es posible escribir:

2. TRABAJO VIRTUAL

2.1 Principio del Trabajo Virtual para un Sistema de Cuerpos Rígidos

El método de trabajo virtual es el más indicado para resolver problemas de equilibrio que involucran un sistema de varios cuerpos rígidos conectados. Sin embargo, debemos primeramente especificar el número de grados de libertad de un sistema y establecer coordenadas que definan la posición.

Grados de libertad

Un sistema conexo de cuerpos rígidos toma una forma única que puede especificarse siempre que se conozca la posición de cierto número de puntos específicos en el sistema. Estas posiciones se definen usando coordenadas independientes q, que se miden desde puntos de referencia fijos.

Para cada coordenada establecida, el sistema tendrá un grado de libertad para desplazarse a lo largo del eje de coordenadas que sea consistente con la acción restrictiva de los apoyos. Así, un sistema de n grados de libertad requiere n coordenadas independientes q para especificar la localización de todos sus miembros.

Principio del trabajo virtual

El principio del trabajo virtual para un sistema de cuerpos rígidos cuyas conexiones son sin fricción puede enunciarse como sigue: Un sistema de cuerpos rígidos conectados está en equilibrio a condición de que el trabajo virtual realizado por todas las fuerzas externas y pares que actúan sobre el sistema sea cero para cada desplazamiento virtual independiente del sistema. Matemáticamente esto puede expresarse como:

donde δU representa el trabajo virtual de todas las fuerzas externas (y pares) que actúan sobre el sistema durante cualquier desplazamiento virtual independiente.

2.2 Desplazamientos virtuales en un sólido rígido

Consideremos un sólido rígido sometido a un sistema de fuerzas en equilibrio, es decir:

sobre

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