Funciones. Actividades

Funciones

Uno de los conceptos fundamentales de la matemática y que está presente en cada una de las distintas ramas, es el concepto de función. Con frecuencia se da la siguiente definición de función: ‘’una función del conjunto X en un conjunto Y es una regla que asigna a cada elemento de X un único elemento Y’’. Esta definición tiene el gran inconveniente de que usa el término ‘’regla’’, al cual no se le da un significado  preciso, ya que no se lo explica. Nosotros, para definir rigurosamente el concepto de función, recurrimos al lenguaje de las relaciones

Definición

Sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una tríada (f, X, Y), donde f es una relación de X en Y que satisface las dos siguientes condiciones.

1. dom(f) = X                               2. x f y  ^  x f z → y = z

Es costumbre generalizada escribir

                                       f: X → Y

para indicar que (f,X,Y) es una función de X en Y. Aún más, en lugar de x f y ó (x,y) ∈ f, se escribe

                                                                  y = f(x)

y, en este caso, se dice que y es la imagen de x mediante f y que x es una preimagen de y

Tipos de Funciones

Función identidad

 Sea X un conjunto cualquiera. Es evidente que la relación diagonal Ix c X x X es una función  de X en X.

A la relación de diagonal la llamaremos función  identidad del conjunto X.

Función inclusión

Sea A un subconjunto de X. Se llama función inclusión de A en X a la siguiente función

                                               iA: A → X

                                                    iA(a) = a

Observar que en el caso particular de que A = X, la función inclusión iA coincide con la función identidad Ix.

Función Constante

Sean X e Y dos conjuntos y sea c un elemento fijo de Y. La siguiente función es llamada la función constante determinada por c.

                                                        f: X → X

                                                     f(x) = c, ∀ x ∈ X    

Funciones de dos variables

Sean X, Y y Z tres conjuntos. A cualquier función

                                             F: X x Y → Z

     se llama función de dos variables.

En particular, las siguientes funciones de dos variables reciben el nombre de primera y segunda proyección, respectivamente.

1. Π1: X x Y → X                                                                                             2. Π2: X x Y → Y

Π1(x,y) = x                                                                                                           π2(x.y) = y

Igualdad de Funciones

Una función de X en Y es, por ser una relación, un subconjunto de X x Y. Luego, dos funciones son iguales si estas son iguales consideradas como conjuntos. Sin embargo, el siguiente teorema nos proporciona un criterio más manejable de igualdad de funciones.

TEOREMA 7.1   Sean f: X → Y y g: X → Y dos funciones. Entonces

f = g ↔ f(x) = g(x), ∀ x ∈ X

Demostración

(→) y = f(x) ↔ (x,y) ∈ f ↔ (x,y)  ∈ g ↔ y = g(x)

       Luego, f(x) = g(x).

(←)  (x,y) ∈ f ↔ y = f(x) ↔ y = g(x) ↔ (x,y) ∈ g

        Luego, f = g.

Funciones Reales

Una función real es una función f: X → ℝ, donde X es un conjunto cualquiera.

Ejemplo 6  Función característica

Sean X un conjunto cualquiera y A un conjunto de X. Se llama función característica de A a la siguiente función real:

XA: X → ℝ[pic 1]

XA(x): 1,si.x∈ A

            0,si.x∉A

Las funciones en las que se interesa el cálculo diferencial e integral, son las funciones reales f: X → ℝ, donde el dominio X es un subconjunto de ℝ. Estas funciones reciben el nombre de funciones reales de variable real. Dentro de éstas, las más comunes son las funciones polinomiales. Si n es un número natural, una función polinomial de grado n es una función de la forma

p: ℝ → ℝ

donde an, … , a0 son números reales, siendo an ≠ 0.

      La función polinomial de grado 1:

                                                p(x) = ax + b, a ≠ 0.

Recibe el nombre de función lineal.

      La función de grado 2:

                                p(x) = ax^2 + bx + c, a ≠ 0

recibe el nombre de función cuadrática.

Restricción y Extensión de Una Función

Sea f: X → Y una función y A un subconjunto de X. Se llama restricción de f al conjunto A a la función

g: A → Y

g(x) = f(x)

A la función g se acostumbra denotarla por f/A. Por otro lado, si f: X → Y es una función, X es subconjunto de Z y h: Z → Y es una función tal que la restricción de h a X es igual a f, entonces se dice que h es una extensión o prolongación de f al conjunto Z.

Sea la función

f: ℝ - {0} → ℝ

f(x) = 1/x

Las siguientes funciones son dos extensiones de f al conjunto ℝ.

h: ℝ → ℝ                                                                                                       g: ℝ → ℝ[pic 2][pic 3]

    h(x) =   1/x, si x ≠ 0                                                                                 g(x) =  1/x, si x ≠ 0

                 0, si x = 0                                                                                              1, si x = 0

Funciones Inyectivas

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