Funciones con derive

FUNCIONES VECTORIALES Y CURVAS EN [pic 6]

Las ecuaciones paramétricas al considerar una partícula que se mueve en un plano de modo que las coordenadas [pic 7] de su posición en cualquier instante [pic 8] están determinadas por las ecuaciones [pic 9] y [pic 10]y en el espacio tridimensional, con las coordenadas [pic 11] de la posición de la partícula en cualquier tiempo [pic 12] están dadas por las tres ecuaciones paramétricas [pic 13]  a ≤  t ≤ b esto significa que para cualquier tiempo t, podemos localizar la posición (x, y, z) de la partícula.

Una manera adecuada para describir el movimiento de esta partícula es mediante el vector posición, esto es [pic 14]

Donde f(t), g(t), h(t) se llaman las funciones de los componentes.

FUNCIÓN VECTORIAL. Una función cuyo dominio es un conjunto de números reales tal que su rango (contradomino) es un conjunto de vectores.

El dominio de una función vectorial es el conjunto de t, para que todos los componentes de las funciones estén definidos.

Sean [pic 15]y [pic 16] funciones reales de la variable real [pic 17]. Entonces se define la función vectorial [pic 18] por medio de: [pic 19] o [pic 20]donde [pic 21] es cualquier número real del dominio común [pic 22]y[pic 23].

En el plano, se define una función vectorial [pic 24] mediante [pic 25] donde [pic 26] pertenece al dominio común de [pic 27] y [pic 28].

EJEMPLO1. Determine el dominio de la siguiente función. [pic 29][pic 30]

El primer componente se define para todos "t”. El segundo componente sólo está definido para [pic 31]. El tercer componente sólo está definido para[pic 32][pic 33]. Poniendo todos estos juntos le da el dominio siguiente. [pic 34]

Este es el mayor intervalo posible para que los tres componentes se definan.

Ejemplo 2. Sea [pic 35] la función vectorial definida por: [pic 36]

Si [pic 37] y [pic 38], entonces el dominio de [pic 39] es el conjunto de valores de [pic 40] para los cuales [pic 41] y [pic 42] están definidas. Como [pic 43] está definida para [pic 44] está definida para todo número real diferente de [pic 45], y [pic 46] está definida para todos los números positivos, el dominio de [pic 47] es [pic 48].

La ecuación: [pic 49] se denomina ecuación vectorial la cual describe la curva [pic 50] definida por las correspondientes ecuaciones paramétricas esto es, una curva puede definirse por medio de una ecuación vectorial o por un conjunto de ecuaciones paramétricas.

GRÁFICA DE FUNCIONES VECTORIALES

Recordemos que un vector de posición, por ejemplo[pic 51] Es un vector que comienza en el origen y termina en el punto [pic 52] 

Y además que cualquier función vectorial se puede dividir en un conjunto de ecuaciones paramétricas que representan el mismo gráfico.

EJEMPLO 3

Grafique la curva plana definida por la ecuación vectorial [pic 53] 

Se define sus ecuaciones paramétricas [pic 54] y [pic 55]

Y ahora utilizamos software matemáticos ´para representarlos.

[pic 56]

Nota: revisar guía de gráficas de ecuaciones paramétricas con derive 6.0

EJEMPLO 4.Trazar la gráfica de la función vectorial siguiente[pic 57]

Se define sus ecuaciones paramétricas [pic 58] Y ahora graficamos.

[pic 59]

EJEMPLO 5. Trazar la gráfica de la función vectorial  [pic 60]

Las ecuaciones paramétricas de la curva son[pic 61] 

[pic 62]

Los  puntos de la curva están situados en el cilindro x2 + y2 = 4, el valor constante z = 3 hace que la curva este situada 3 unidades arriaba del  plano xy

Una ecuación vectorial de una curva proporciona una dirección a la curva en cada punto. Esto es, si se piensa que la curva es descrita por una partícula, se puede considerar la dirección positiva a lo largo de la curva como la dirección en la que la partícula se mueve a medida que el parámetro [pic 63] aumenta. En tal caso, [pic 64] puede ser una medida del tiempo, de modo que al vector [pic 65] se le llama vector de posición.

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