Funciones y sus respetivas medidas de densidad

OBJETIVOS[pic 2]

1. Planificar el registro de datos en el laboratorio para facilitar su análisis.
2. Introducir la utilización de gráficas en el trabajo experimental.
3. Interpretar por medio de gráficos construidos a partir de datos experimentales varias propiedades importantes de los sistemas tales como la densidad, concentración, etc.
4. Determinar una propiedad medida experimentalmente y relacionarla con otra.

INTRODUCCIÓN

Hay varias propiedades físicas de la materia que son interdependientes y, a menudo, es importante conocer la relación matemática entre ellas. Una forma muy conveniente de presentar la relación entre dos propiedades interdependientes es por medio de una gráfica. En la construcción de una gráfica se asume que las propiedades físicas varían de una forma continua. Por ejemplo, uno puede estar interesado en determinar cómo se comporta la densidad de una solución cuando se cambia la concentración. La propiedad cuyo comportamiento se va a establecer, la densidad, es conocida como variable dependiente (y), mientras que la propiedad que se cambia a voluntad, la concentración, se conoce como variable independiente (x). A cada concentración preparada se le mide la densidad, con lo cual se obtiene un conjunto de parejas de datos (x, y) cuyos valores se ubican en los ejes cartesianos X (horizontal) y Y (vertical). Los procesos de medición deben hacerse a una temperatura constante a fin de evitar cambios en el volumen, que también afectarían la densidad. En los ejes de coordenadas XY, con la escala apropiada, se establecen las parejas o puntos (x, y) y se traza la mejor curva continua a través de los puntos. Con frecuencia, dicha curva recibe el nombre de curva de calibración.

Función lineal. Es importante revisar los conceptos relacionados con la función lineal, ya que al relacionar variables en los sistemas físicos no sólo es la función más sencilla sino también la más frecuente y útil. La función lineal se puede representar algebraicamente por la ecuación

y=a+bx. La cantidad a es una constante llamada intercepción y representa el sitio en el que la línea recta intercepta el eje vertical, esto es, el valor de y cuando x=0. El valor b es otra constante llamada pendiente y representa que tanto cambia la variable dependiente por unidad de cambio en la variable independiente; esto es, la inclinación de la línea recta con respecto al eje horizontal. Así, entre mayor sea la inclinación de una línea recta mayor es el valor de su pendiente. El valor de la pendiente es también la tangente del ángulo de inclinación y puede determinarse midiendo, para una distancia vertical (cambio en la variable dependiente, Δy), su correspondiente distancia horizontal (cambio en la variable independiente, Δx) y dividiendo la primera por la segunda. Ver Figura 2.1.

pendiente = distancia vertical / distancia horizontal = Δy / Δx        (1)

El siguiente problema que surge es cómo elegir “Δy/Δx” de modo que entre todas las rectas posibles obtengamos la “mejor” pendiente para el modelo y=a+bx. Afortunadamente, uno puede usar su calculadora o un programa comercial de computador como Excel™ para obtener los valores de los parámetros a y b y, por lo tanto, conocer la ecuación y=a+bx que corresponde a la recta que mejor se acomoda a los valores experimentales. A este proceso que usa su calculadora o programa comercial se le conoce como regresión lineal. Con los resultados (valores de a y b) obtenidos de la regresión lineal uno puede también determinar el valor desconocido de y0 que corresponde a un valor experimental xo. Este proceso, que se conoce como interpolación, se basa en la asunción que el punto (xo, yo) satisface la ecuación y= a+bx, es decir, que yo= a+bxo. De aquí puede uno despejar xo y obtener

𝑥 =

0

𝑦 −𝑎

     0        

𝑏

(2)

En este experimento, con ayuda de su calculadora o Excel™, usted aplicará el proceso de regresión lineal para determinar (1) la densidad (en g/mL) de un material calculando la pendiente de la línea recta que resulta de un gráfico de masa (g) vs. volumen (mL) para ese material; y (2) la concentración de azúcar en una solución de concentración desconocida por interpolación sobre un gráfico de densidad (g/mL) vs. concentración (%w/w) de soluciones de azúcar.

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Figura 2.1. Gráfico en coordenadas XY ilustrando una función lineal. Tenga en cuenta que el cálculo mostrado representa el valor local entre el tercer y el quinto punto de la gráfica.

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