Física: Estática

1.2 COMPONENTES DE VECTORES

El método gráfico de suma de vectores no es el procedimiento recomendado en situaciones donde se requiera alta precisión o en problemas tridimensionales. Por lo cual para este tipo de casos en donde se quiere llevar a cabo la obtención de un vector o fuerza resultante de una suma de vectores es más viable un método analítico, o conocido también como el de las componentes de un vector.

Antes que nada debemos definir cuáles son las componentes de un vector, para ellos utilizaremos un sistema rectangular de ejes de coordenadas (plano cartesiano). Se representa un vector A dado su origen en O, sobre el plano xy que forma un ángulo Ѳ con el eje x, como se muestra en la figura.

y

Ay A

Ѳ

o x

Ax

Podemos describir plenamente a un vector dando su magnitud y dirección (forma polar) o bien sus componentes (forma rectangular)

A = A ∠ θ Forma Polar

A = Axi + Ayj Forma Rectangular

Entonces, podemos representar cualquier vector en el plano xy como la suma de un vector paralelo al eje x y un paralelo al eje y. Esto, es que el vector A es el resultante de la suma de los vectores Ax y Ay, llamados vectores componentes de A.

Las componentes rectangulares son útiles para la suma y resta de vectores. Si θ es el ángulo comprendido entre A y el eje x resulta:

Ax = A cos θ = componente en X de un vector

Ay = A sen θ = componente en Y de un vector

Si conocemos Ax y Ay podemos obtener al ángulo a partir de:

tan θ = co/ca = Ay/Ax

1.3 VECTORES UNITARIOS.

Las cantidades vectoriales con frecuencia se expresan en términos de vectores unitarios, ¿Pero qué es un vector unitario?

Se deben utilizar los símbolos i, j y k para representar los vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y y z respectivamente. Así entonces, los vectores unitarios forman un conjunto de vectores mutuamente particulares, como se muestra en la figura de abajo, donde la magnitud del vector unitario es igual a la de la unidad, es decir:

I i l = l j l = l k l = 1

y

j

x

i

k

z

Considera un vector A que se ubica en el plano xY, en donde el vector unitario está definido por (i, j). Si se incorpora el vector unitario a las componentes rectangulares de un vector se tiene que:

A = Axi + Ayj

A,j A

A,i

Los vectores Axi y Ayj son los componentes vectoriales de A y no deben confundirse con Ax y Ay, las cuales se refieren a las componentes rectangulares de A.

Ahora, supón que se desean sumar los vectores B y A de la figura de abajo, en donde B tiene componentes Bx y By. El procedimiento de la suma es simplemente sumar las componentes x y y por separado ya que el vector resultante estará dado por:

y

R= (Ax + Bx) i + (Ay + By) j By

R B

Ay A x

o

Ax Bx

Por consiguiente, las componentes rectangulares del vector están dadas por:

Rx = Ax + Bx Ry = Ay + Ay

Entonces es posible obtener la magnitud de R y el ángulo que forma con el eje x, a partir de sus componentes utilizando las relaciones.

R= √(〖Rx〗^2+〖Ry〗^2 )

R= √(〖(Ax+Bx)〗^2+〖(Ay+By)〗^2 )

1.3.1 Componentes en tres dimensiones.

Los vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y y z son convenientes para expresar sus vectores en función de sus componentes rectangulares. Un vector A puede describirse como la suma de tres vectores, cada uno de ellos paralelo a un eje coordenado.

A = Axi + Ayj + Azk

y

Ayj

x

z Azk

La extensión de estos métodos a vectores tridimensionales es directa. Si A y B tienen componentes x, y y z se expresan de la siguiente forma:

A = Axi + Ayj + Azk

B = Bxi + Byj + Bzk

Y la suma de A y B estaría dada por:

R = A + B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az+Bz)k

Por lo tanto el vector resultante tiene una componente z, dad por Rz = Az + Bz. Se puede aplicar este mismo método para sumar tres o más vectores.

1.6 RESULTANTE DE SISTEMAS DE FUERZAS CONCURRENTES.

Considera una partícula x sobre la cual actúan tres o más fuerzas; como todas las fuerzas pasan por el mismo punto, recuerda que son concurrentes.

P Q

S

Para poder determinar el valor de la fuerza resultante R del sistema mostrado en la figura anterior, resulta recomendable obtener la solución por medio del método analítico de la descomposición de cada una de las fuerzas en sus componentes rectangulares.

Por ejemplo, a partir de las tres fuerzas P, Q y S que actúan sobre la partícula A, su resultante R estará definida por la relación:

R= P + Q + S

Descomponiendo cada una de las fuerzas en sus componentes rectangulares se escribe:

Rxi + Ryj = (Px + Qx + Sx)i + (Py + Qy +Sy)j

Y a partir de estas ecuaciones se concluye que:

Rx = (Px + Qx +Sx) = ∑Fx

Ry = (Py + Qy +Sy) = ∑Fy

Por lo que se puede concluir que las componentes escalares de Rx y Ry

...