INDUCCIÓN MATEMÁTICA Los números naturales
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Universidad del Bío-Bío
Facultad de Ciencias Básicas
Departamento de Ciencias Básicas
Bachillerato en Ciencias Naturales y Exactas
Sede-Chillán
2013
INDUCCIÓN MATEMÁTICA
Autor(a): Tavita Barriga Silva
Profesor guía: Luis Friz Roa
Índice
Contenido Página
Introducción 4
1. Los números naturales 5 1.1. Uso de los números naturales 5
2. Los números enteros 6
2.1. La ordenación de los números enteros 7
3. El principio de buen orden 8
3.1. Axioma de buena ordenación en (z,<) 9
4. Historia de la inducción matemática 10
5. Inducción matemática 12
6. Ejemplos de inducción matemática 13
7. Cálculos elementales de área 19
7.1. Concepto de área 19
7.2. Área bajo una curva 20
Conclusión 24
Bibliografía 25
Introducción
En cualquier ciencia experimental, la inducción es obtener un resultado general a partir de un análisis de casos particulares. De esta forma, observando la caída de una serie de cuerpos pesados se induce que cualquier cuerpo más pesado que el aire cae por acción de la gravedad, este hecho se considera válido mientras no se encuentre un cuerpo más pesado que el aire que no caiga, otro ejemplo más simplificado de esto podría ser una descripción informal de la inducción matemática que puede ser ilustrada por el efecto dominó, donde ocurre una reacción en cadena con una secuencia de piezas de dominó cayendo una detrás de la otra. En matemática se utiliza este proceso como método para demostrar resultados generales que dependen en algún sentido de los números naturales.
La Inducción Matemática se trata de lo siguiente: se sabe que una determinada afirmación es verdadera para algunos casos particulares y surge la pregunta. ¿Dicha afirmación sigue siendo verdadera para los infinitos números naturales restante?
Existen muchas afirmaciones que solo son válidas para un número finito de casos y en consecuencia son falsas para un número infinito. Sin embargo, podemos encontrar proposiciones que son verdaderas solo a partir de un cierto número natural, de ser así, la técnica que se desarrollaremos se denomina Inducción Incompleta. Para demostrar que una proposición es verdadera es necesario comprobar la validez de ella para todos los elementos del conjunto, en el caso en que el conjunto pertenezca a los naturales, diremos que es una Inducción Completa.
1. Los números naturales
Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.
El conjunto de los números naturales se representa por N y corresponde al siguiente conjunto numérico:
N=1,2,3,4,5,6,7,…
Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a N.
1.1. Uso de los números naturales
Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal.
2. Los números enteros
Los números enteros se definen como el conjunto de los números Z={...,-2,-1,0,1,2,3,...}. Dentro de este conjunto está el subconjunto de los números naturales, N={1,2,3,4,...}. Es decir, el subconjunto de los números enteros positivos (mayores que 0).
Pueden definirse en Z dos operaciones internas binarias + , . : Z x Z ⇒ Z, a las que llamamos suma y producto, respectivamente. Estas operaciones cumplen las siguientes propiedades:
i. Cerradas: a+b ∈ Z y a.b ∈ Z, ∀a,b ∈Z
ii. Conmutativas: a+b = b+a , a.b = b.a , ∀ a,b ∈ Z
iii. Asociativas: a+(b+c) = (a+b)+c , a.(b.c) = (a.b).c , ∀ a,b ∈ Z
iv. Existencia de elementos neutros: a+0 = a , a.1 = a , ∀ a ∈ Z
v. Existencia de elemento opuesto para la suma: ∀a ∈Z existe -a ∈ Z tal que a + (-a) = 0
...