INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE RIOVERDE

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE RIOVERDE

Rioverde, S.L.P

Compendio de Algebra lineal 1° Parcial.

Nombre del Alumno:

Hernández Hernández Julián

Materia: Contabilidad financiera

Carrera: Ingeniería en Sistemas Computacionales

Semestre: 2°

Catedrático: Ing. Juan Etzael Vázquez Ceballos.

1. Definición y origen de los números complejos

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo como resultado de una imposible sección de una pirámide. El gran matemático Diofanto (275 d.C.) construyó un triángulo con una cuerda en la que había realizado 12 nudos (equidistantes). Los lados medían 3, 4 y 5.

Evidentemente el triángulo es rectángulo, cumple el teorema de Pitágoras:

[pic 1]

Al ser un triángulo rectángulo es fácil comprobar que el área es 6 unidades. Con la misma cuerda trató de construir otro triángulo rectángulo de forma que su área fuese 7 unidades. Su planteamiento fue el siguiente:

• Un cateto mediría x

• Como el área debía ser 7, el otro cateto será 14/x.

• La hipotenusa debe cumplir el teorema de Pitágoras pero por otra parte la suma de sus lados debe ser 12: [pic 2][pic 3]

Por tanto se debe cumplir la ecuación: [pic 4]

De donde se obtiene: [pic 5]

Cuya solución Diofanto expresó como: [pic 6]

Separando la fracción obtenemos: [pic 7]

Pero no conocía ningún número que elevado al cuadrado fuese igual a -1, por tanto, el problema no tenía solución. Este problema planteado por Diofanto tardaría siglos en resolverse. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por los matemáticos italianos Tartaglia y Cardano. Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. Cardano sugirió que el número real 40 se puede expresar como:  ya que:[pic 8]

  [pic 9]

Por lo tanto:

 [pic 10]

En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler simbolizó la raíz cuadrada de –1 con la letra i por imaginario  .[pic 11]

Esta idea también sugerida por Jean-Robert Argand que describió en 1806, mientras atendía una tienda de libros en París, la representación geométrica de los números complejos, publicando la idea de lo que se conoce como plano de Argand, que más tarde fue utilizada por Carl Friedrich Gauss para dar la interpretación geométrica de los números complejos. Gauss, en su tesis doctoral de 1799, demostró su famoso teorema fundamental del álgebra, que dice que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. En 1825, continuando con el estudio de las funciones complejas, el matemático francés Augustin L. Cauchy generalizó el concepto de integrales definidas de funciones reales para funciones de variable compleja.

1.1.1 Definición de i como número imaginario y potenciación del mismo.

Establecemos que:

 [pic 12]

Por lo tanto si a i lo elevamos a una potencia n el resultado se volverá un ciclo entre las potencias de  y  y así sucesivamente cada cuatro potencias.[pic 13][pic 14]

Ejemplo:

Definición: Un número complejo es un número de la clase a + bi en donde a y b son reales. Si a es cero el número complejo se reduce a un número imaginario puro. Si b es cero se reduce a un número real. Los números reales R y los números imaginarios puros I son casos especiales de los números complejos C.

Números reales[pic 23][pic 24]

[pic 25][pic 26][pic 27]

Números imaginarios

[pic 28][pic 29]

Ejemplos:

• [pic 30]
• [pic 31]
• [pic 32]
• [pic 33]
• [pic 34]
• [pic 35]

1.1.2 Ubicación de los números complejos en un plano cartesiano.

Ubicaremos en un plano cartesiano el siguiente número imaginario: :[pic 36]

[pic 37]

Ahora ubicaremos varios números imaginarios:

[pic 38]

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos

1.2.1 Suma

Definición: suma de números complejos [pic 39]

En la suma la regla que se sigue es: sumar los números reales del término con los números reales del otro término y los números imaginarios del primer término con los números imaginarios del segundo término.

Ejemplo:

• [pic 40]
• [pic 41]
• [pic 42]

1.2.2 Resta

Definición: resta de números complejos [pic 43]

En la resta la regla que se sigue es: restar los números reales del término con los números reales del otro término y los números imaginarios del primer término con los números imaginarios del segundo término.

Ejemplo:

• [pic 44]
• [pic 45]
• [pic 46]

**Efectúa las siguientes operaciones:

• [pic 47]
• [pic 48]
• [pic 49]
• [pic 50]
• [pic 51]
• [pic 52]
• [pic 53]
• [pic 54]
• [pic 55]
• [pic 56]

1.2.3 Multiplicación

Definición: El producto de dos números complejos se obtiene con la siguiente fórmula:

[pic 57]

Como se puede ver la operación de multiplicación de los números complejos es como resolver un binomio común y corriente, lo anterior lo podemos verificar con los siguientes ejercicios:

...