INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE PURÍSIMA DE RINCÓN..

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE PURÍSIMA DE RINCÓN

INGENIERÍA INDUSTRIAL

3º  SEMESTRE

ESTUDIO DEL TRABAJO

PRODUCTO PUNTO PRODUCTO CRUZ Y PAR DE TORCION

GONZÁLEZ ZAVALA NAYHELLI

ARMENDÁRIZ GARCÍA JOAN DE JESÚS

CRUZ JASSO EMMANUEL

CASTRO GUERRERO FRANCISCO JAVIER

FONSECA MONCAYO LUIS ERNESTO

ESPARZA CRUZ MARCUS URIEL

ING. JOSÉ LUIS TAVARES

PURÍSIMA DEL RINCÓN, GTO.                  31 DE AGOSTO DEL 2016

PRODUCTO PUNTO

El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

[pic 2]

Expresión analítica del producto punto

[pic 3]

Ejemplo

Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).

(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5

Expresión analítica del módulo de un vector

Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas  = (−3, 2, 5) en una base ortonormal.

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Determinar el ángulo que forman los vectores  = (1, 2, −3) y  = (−2, 4, 1).

[pic 4]

Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.

[pic 5]

Ejemplo

Calcular los valores x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y (2, 1, −1).

[pic 6]

Propiedades del producto punto

1Conmutativa

[pic 7]

2 Asociativa

[pic 8]

3 Distributiva

[pic 9]

4.El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

[pic 10]

Interpretación geométrica del producto punto

El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

OA’ es la proyección escalar de  sobre el vector .

El vector proyección se calcula multiplicando la proyección escalar por un vector unitario de , de modo que obtenemos otro vector con la misma dirección.

PRODUCTO CRUZ

El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección esperpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

[pic 14]

[pic 15]

El producto cruz se puede expresar mediante un determinante:

[pic 16]

Ejemplos

Calcular el producto cruz de los vectores [pic 17] = (1, 2, 3) y [pic 18] = (−1, 1, 2).

[pic 19]

[pic 20]

Dados los vectores [pic 21] y [pic 22], hallar el producto cruz de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a [pic 23] y [pic 24].

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

El producto vectorial de [pic 28] es ortogonal a los vectores [pic 29] y [pic 30].

Área del paralelogramo

Geométricamente, el módulo del producto cruz de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

[pic 31]

[pic 32]

Ejemplo

Dados los vectores [pic 33]y [pic 34], hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores [pic 35] y [pic 36]·

[pic 37]

[pic 38]

Área de un triángulo

[pic 39]

[pic 40]

Ejemplo

Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

Propiedades del producto cruz

1. Anticonmutativa

[pic 47] x [pic 48] = −[pic 49] x [pic 50]

2. Homogénea

λ ([pic 51] x [pic 52]) = (λ[pic 53]) x [pic 54] = [pic 55] x (λ[pic 56])

3. Distributiva

[pic 57] x ([pic 58] + [pic 59] ) = [pic 60] x [pic 61] + [pic 62] x [pic 63] ·

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