INTERVALO DE CONFIANZA.

INTERVALO DE CONFIANZA.

En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.

La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota 1-. La probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza. Generalmente se construyen intervalos con confianza 1-α=95% (o significancia α=5%). Menos frecuentes son los intervalos con α=10% o α=1%

Para construir un intervalo de confianza, se puede comprobar que la distribución Normal Estándar cumple 1:

P(-1.96 < z < 1.96) = 0.95

(Lo anterior se puede comprobar con una tabla de probabilidades o un programa computacional que calcule probabilidades normales). Luego, si una variable X tiene distribución N (µ, σ), entonces el 95% de las veces se cumple:

Despejando µ en la ecuación se tiene:

El resultado es un intervalo que incluye al µ el 95% de las veces. Es decir, es un intervalo de confianza al 95% para la media µ cuando la variable X es normal y σ2 es conocido.

II- Intervalo de confianza para un promedio:

Generalmente, cuando se quiere construir un intervalo de confianza para la media poblacional µ, la varianza poblacional σ2 es desconocida, por lo que el intervalo para µ construido al final de II es muy poco práctico.

Si en el intervalo se reemplaza la desviación estándar poblacional σ por la desviación estándar muestral s, el intervalo de confianza toma la forma:

La cual es una buena aproximación para el intervalo de confianza de 95% para µ con σ2 desconocido. Esta aproximación es mejor en la medida que el tamaño muestral sea grande.

Cuando el tamaño muestral es pequeño, el intervalo de confianza requiere utilizar la distribución t de Student (con n-1 grados de libertad, siendo n el tamaño de la muestra), en vez de la distribución normal (por ejemplo, para un intervalo de 95% de confianza, los límites del intervalo ya no serán construidos usando el valor 1,96).

III. Intervalo de Confianza para una Proporción.

En este caso, interesa construir un intervalo de confianza para una proporción o un porcentaje poblacional (por ejemplo, el porcentaje de personas con hipertensión, fumadoras, etc.)

Si el tamaño muestral n es grande, el Teorema Central del Límite nos asegura que:

O bien:

Donde p es el porcentaje de personas con la característica de interés en la población (o sea, es el parámetro de interés) y p es su estimador muestral.

Luego, procediendo en forma análoga al caso de la media, podemos construir un intervalo de 95% de confianza para la proporción poblacional p.

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