Intervalos De Confianza

TEMA 7.- ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA

Introducción:

Se ha visto que un estimador es una función de las v. a. que integran una muestra, por tanto, es una variable aleatoria con una determinada distribución. Una estimación del parámetro  es el valor que toma el estimador ante una realización muestral concreta (recordar el ejemplo del gasto diario en transporte de una empresa que, una vez extraída una muestra, se obtuvo como estimación del gasto 279€). La estimación puntual, generalmente no coincide con el verdadero valor del parámetro , (pero si el estimador tiene buenas propiedades, se obtendrá un valor muy próximo a  en la mayoría de las realizaciones muestrales que se obtengan). Por tanto, sería deseable acompañar la estimación del parámetro con una medida asociada al posible error que se pueda cometer.

Definición de intervalo de confianza

Un intervalo de confianza es un intervalo aleatorio cuyos extremos son funciones de la muestra que nos garantiza con una confianza del (1-)% que el verdadero valor del parámetro va a estar dentro del intervalo obtenido.

En realidad se trata de “dada una v.a. poblacional X cuya distribución depende de  y dada una Muestra Aleatoria Simple (MAS) X1, X2, ... , Xn Obtener dos estimadores y tales que

En donde (1-)% es el nivel de confianza y 1- es el coeficiente de confianza.

Obsérvese que el intervalo es aleatorio porque los extremos son variables aleatorias, ya que el parámetro es desconocido pero fijo.

Ejemplo:

Se trata de encontrar un intervalo de confianza del 95% para estimar el gasto en transporte de una determinada empresa, gasto que sabemos se distribuye de forma normal de media µ y desviación típica 300.

Para ello se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 100, por ejemplo, y utilizamos la media muestral como el mejor estimador de la media poblacional que sabemos que se distribuye

o, lo que es lo mismo,

Entonces buscamos dos valores 1 y 2 tales que y observamos que, para que el intervalo sea lo más estrecho posible, es necesario que 1 = -2 O sea, que

y con lo que que despejando µ se obtiene O sea que quiere decir que hemos encontrado dos estimadores y tales que =0,95

¿Qué significa esto?

a) Que para cada muestra en concreto, va a salir un valor distinto de y, por tanto, para cada muestra se va a obtener un intervalo de confianza distinto.

b) Que de todos los posibles intervalos de confianza que se puedan obtener, el 95% de ellos van a contener al verdadero valor del parámetro. (ver gráfico)

c) Que, una vez obtenida una muestra concreta, se obtiene un intervalo concreto y es incorrecto decir que hay una probabilidad del 95% de que el parámetro esté contenido en ese intervalo.

Siguiendo con el ejemplo.

Supongamos que obtenemos una muestra concreta 500, 300, 800, … y calculamos su media muestral que resulta ser 625. Luego µ = 625 es una estimación puntual de la media poblacional y (625 – 58,8 ; 625 + 58,8) = (566,2 ; 683,8) es un intervalo de confianza para µ del 95% obtenido de esa muestra.

Ojo: No se puede poner P(566,2  µ  683,8) = 0,95 Lo único que se puede hacer es confiar que el intervalo (566,2 ; 683,8) sea uno de los del 95% que contienen al parámetro µ. Solamente podemos hablar de probabilidad antes de tomar la muestra.

Por tanto, un intervalo de confianza viene determinado por:

a) El estimador del parámetro que se haya escogido.

b) El nivel de confianza 1 -  (generalmente del 90%, 95% o 99%)

c) La amplitud del intervalo L.

d) El tamaño de la muestra n.

Se verifica que la amplitud del intervalo vendrá determinado por las anteriores características verificándose que, manteniendo el estimador escogido.

• A mayor nivel de confianza, mayor amplitud del intervalo.

• A mayor tamaño de la muestra, menor amplitud del intervalo.

• Y si se mantiene constante la amplitud del intervalo, para aumentar la confianza hay que aumentar el tamaño muestral.

La precisión de un intervalo viene dada por su amplitud. Interesa que un intervalo de confianza tenga la menor amplitud posible y la máxima confianza, pero como ambas son contradictorias, se opta por soluciones intermedias.

Ejemplos.

Siguiendo con el ejemplo anterior, obtener un intervalo de confianza para la media poblacional, con la misma muestra obtenida antes, pero para una confianza del 99,7%. Determinar el intervalo de confianza que se obtendría si aumentamos el tamaño de la muestra a 625.

MÉTODOS DE CONSTRUCCIÓN DE INTERVALOS DE CONFIANZA.

Hay varios métodos pero únicamente se va a exigir el denominado “método del pivote”.

Se parte de una v.a. poblacional y se dan los siguientes pasos:

1.- Se elige el mejor estimador posible del parámetro .

2.- Se busca una función del estimador cuya distribución sea conocida y no dependa del parámetro .

3.- Se construye el intervalo tal que

4.- Se obtiene el intervalo despejando el parámetro.

Nota: generalmente se van a obtener 1 y 2 que dejan a su izquierda y derecha, respectivamente, una probabilidad de /2.

Veamos ejemplos concretos:

Intervalos de confianza en poblaciones normales.

a) Intervalo de confianza para la media con  conocida.

1.- Se elige el mejor estimador de  que es

2.- Nos fijamos

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