Intervalos De Confianza

INTERVALOS DE CONFIANZA

INTRODUCCION

Dado que los estimativos puntuales pocas veces serán iguales a los parámetros que tratan de estimar, podemos darnos una mayor libertad en su estimación mediante el uso de la "estimación por intervalos" o "intervalos de confianza".

Un intervalo de confianza es un intervalo estimado dentro del cual se espera encontrar el valor de un parámetro.

Los estimadores puntuales sólo dan una idea aproximada del valor del parámetro a estimar, no conociéndose cómo de buena es la aproximación; ellos simplemente proporcionan el mejor número que pueda proponerse como valor del parámetro. Por ejemplo decir que µ =170 cm significa que la estatura media de todos los Colombianos es aproximadamente 170 cm, pero el término "aproximado" no se sabe si alude a 1 cm arriba o abajo, o a 1 metro arriba o abajo. Los problemas anteriores eran de esperar pues realmente es demasiado pedir que a partir de una muestra pueda calcularse el valor del parámetro tan exactamente como si se tomara toda la población. En realidad lo que importa es que el valor de la media muestral , por ejemplo, no esté demasiado alejado de µ, y esto se comprueba con los intervalos de confianza.

El objetivo es realizar afirmaciones del tipo: "la estatura media (de los Colombianos no sé exactamente cuánto es, pero es casi seguro alguno de los valores , con una cierta seguridad. La seguridad alude a la probabilidad de que la afirmación sea cierta, con lo que el problema de obtener intervalos de confianza para un parámetro radica en encontrar dos valores a y b tales que , donde (a , b) es el intervalo de confianza para , 1 - el nivel de confianza del intervalo (usualmente próximo a 1) y el nivel de error del intervalo (usualmente próximo a 0).

CONCEPTO DE INTERVALO DE CONFIANZA

Definición: En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.

El intervalo calculado dependerá de:

- Lo estimado en la muestra (Porcentaje, media,……). El intervalo de confianza esta formado por valores ligeramente menores y mayores que la aproximación ofrecida por la muestra.

- El tamaño muestral. Cuantos más datos hayan participado en el cálculo, mas pequeño esperamos sea la diferencia entre el valor estimado y el valor real desconocido.

- La probabilidad (Nivel de confianza) con la que el método dará una respuesta correcta.

Nivel de Confianza: Es la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido, es decir, es el porcentaje de confiabilidad con el cual se estima el verdadero parámetro. Si se seleccionaran 100 muestras aleatorias diferentes se podría esperar que el parámetro se encuentra en (1- ) %, en otras palabras es la seguridad con la que el investigador decide realizar el muestreo y para el cual considera que su parámetro esta incluido.

Nivel de Significancia: Es la probabilidad de equivocarnos. Se simboliza .

Tamaño de la muestra:

Como en algunas situaciones no es posible utilizar toda la población para hacer un análisis, se debe utilizar una muestra. Existen numerosas técnicas para seleccionar muestras. De su adecuada selección se obtendrán resultados muy cercanos a la realidad del evento que se desea estudiar.

Técnicas de muestreo

Existen dos métodos para seleccionar muestras de poblaciones: el muestreo no aleatorio o de juicio y el muestreo aleatorio o de probabilidad. En este último todos los elementos de la población tienen la oportunidad de ser escogidos en la muestra. Una muestra seleccionada por muestreo de juicio se basa en la experiencia de alguien con la población.

Cuadro de técnicas de muestreo

ACTIVIDAD

Investiga acerca de las técnicas de muestreo citadas anteriormente.

Cuando se estiman parámetros por medio de muestras se presentan errores de muestreo, ya que no se utiliza el total de la población.

Error de Muestreo: Es el error que se esta dispuesto a cometer en la precisión de la estimación del parámetro.

ESTIMACION POR INTERVALOS

La estimación por intervalos consiste en asociar a cada muestra un intervalo que se sospecha que debe contener el parámetro

Para obtener el intervalo de confianza se tiene en cuenta:

Parámetro (estimador o estadístico ± valor de la distribución con de

(1- ) ).

Parámetro: Medida de la población que se quiere estimar.

- Es µ , cuando la variable es cuantitativa.

- Es P, cuando la variable es cualitativa o cuando se estiman proporciones.

Estadístico o estimador: Es una medida obtenida en la muestra que estima un parámetro. Ejemplos

(Promedio de la muestra), es un estimador de (promedio poblacional) cuando la variable es cuantitativa.

, Cuando la variable es cualitativa o se estiman proporciones.

El valor de la distribución de probabilidad apropiado puede ser: distribución Normal (N) ó distribución de Student (T) , y esto dependerá de las condiciones presentadas en la muestra y en la varianza.

Como la estimación por intervalos consiste en asociar a cada muestra un intervalo que se sospecha debe contener un parámetro, estudiaremos la construcción de las diferentes clases de intervalos para la estimación de los parámetros.

1. ESTIMACION POR INTERVALOS DE CONFIANZA DE LA MEDIA POBLACIONAL

Para construir un intervalo de confianza para un parámetro desconocido se deben tener en cuenta los siguientes pasos:

1) Encontrar un estimador puntual T para el parámetro, que sea suficiente.

2) Encontrar una variable aleatoria X relacionada con el estimador puntual T.

3) Con base en la distribución de la variable aleatoria asociada con el estadístico y conociendo su distribución muestral se calcula el respectivo intervalo de confianza.

En la construcción de un intervalo de confianza para la media poblacional se considera:

1.2 Cuando se conoce la varianza de la población

El intervalo de confianza para la media poblacional cuando la varianza poblacional es conocida y , esta basado en la media muestral y en la distribución de la variable normal Z(0,1) dada por:

Donde el

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