Identidades Pitagoricas

Identidades Pitagóricas

Las Identidades Pitagóricas son igualdades que se dan entre expresiones trigonométricas en función al valor que tiene un ángulo.

A diferencia de las recíprocas cuyo valor entre la multiplicación de las funciones es igual a uno, en las pitagóricas sólo importa que corresponda cada función dentro de los lados de un triángulos en conjunto con el ángulo en cuestión.

En un artículo anterior, te mencione por casualidad la primera de las Identidades Pitagóricas, la cual corresponde a que el Seno al cuadrado de un ángulo mas el Coseno al cuadrado de ese mismo ángulo es igual a uno. En expresión trigonométrica sería de la siguiente forma:

Sen2A + Cos2A = 1.

Las Identidades pitagóricas (función Secante):

Ya teniendo en claro la primera Identidad, pasaré a exponer y demostrar la segunda. He dicho (también en artículos anteriores) que demostrar una Identidad permite un mejor entendimiento de la misma para posteriores usos.

Empecemos entonces con la segunda de las Identidades pitagóricas. Piensa en un triángulo cuyos lados son OAB y cuyo ángulo en cuestión sea cualquiera (X un ángulo cualquiera). Ya que la Identidad que disiparemos es la Secante piensa entonces ¿a qué es igual?

La Secante de éste triángulo es igual a la multiplicación de los lados que correspondan, es decir la Secante para este caso es igual a OB sobre OA (OB/OA).

Para que entiendas mejor de dónde salió esta afirmación te diré que la Secante es igual a la Hipotenusa sobre el cateto adyacente, la hipotenusa es igual a los lados OB y el cateto adyacente es igual a los lados OA.

OA como cateto adyacente es igual a uno, dado que corresponde al Radio y dentro del triángulo tiene un equivalente a 1.

Entonces la Secante es Igual a los lados OB respectivamente, en expresión algebraica sería de la siguiente forma: SecA = OB.

Ahora piensa en el opuesto de la Secante en relación a sus lados, el opuesto es la Tangente. Dado que la Tangente es igual a los lados AB sobre OA ( TgA = AB/OA) ya podemos reemplazar.

La ley de Pitágoras dice: El cuadrado de la hipotenusa (OB2) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (OA2 + AB2).

Sec2A = 12 + Tg2A = Sec2A = 1 + Tg2A. Con esto ya queda expuesta la segunda identidad de Pitágoras.

Identidades trigonométricas fundamentales

cos² α + sen² α = 1

sec² α = 1 + tg² α

cosec² α = 1 + cotg² α

Ejemplos:

1 Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

2 Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

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