Incrementos Diferenciales

4.1 Definición de espacio vectorial

Un espacio vectorial es un espacio de numerosos vectores diseminadas en todas las direcciones en las dos operaciones básicas que es la adición y multiplicación escalar.

Propiedades:

Suma

1. Propiedad de operación interna: Si el vector x es parte del espacio vectorial y el vector y es parte del espacio vectorial, y el vector resultante de la suma de estos dos vectores, el cual es el vector x + y es también una parte del espacio vectorial mismo.

2. Propiedad conmutativa: Si el vector x es parte del espacio vectorial, el vector y es parte del espacio vectorial, y tenemos un vector resultante de la suma de estos dos vectores, entonces el vector x + y es igual al vector y + x .

3. Propiedad asociativa: Si el vector x es parte del espacio vectorial, el vector y es parte del espacio vectorial y el vector z es parte del espacio vectorial, y tenemos un vector resultante de la adición de estos tres vectores entonces el vector x + (y + z) es igual al vector (x + y) + z.

4. Identidad aditiva: todo espacio vectorial contiene un vector nulo que es un vector cero, lo que se denomina como la identidad aditiva, de tal manera que su suma con cualquiera de los vectores en el espacio vectorial, no cambia el vector real, que es 0 + x = x.

5. Inverso aditivo: Para todos los vectores de un espacio vectorial determinado, existe un vector inversa disponible en el mismo espacio de tal manera que la suma de los dos vectores nos da un vector cero, en consecuencia si tenemos un vector x en el espacio vectorial entonces debemos también tener un vector -x del mismo vector en el espacio.

Propiedades escalares de la multiplicación:

1. Propiedad de operación interna: Si tenemos un vector x en un espacio vectorial dado y un número real, entonces decimos que el vector resultante de la multiplicación escalar de estas dos cantidades, debe existir también dentro del mismo espacio vectorial.

2. Propiedad distributiva: Si se tiene los vectores x y y en un espacio vectorial V y un número real, entonces la operación de a. (x + y) es equivalente a ax + ay.

3. Propiedad distributiva: Si hay un vector x en un espacio vectorial V y un número real a y b, la operación (a + b) x es equivalente a ax + bx.

4. Propiedad asociativa: Si hay un vector x en un espacio vectorial V dado y un número real a y b, entonces la operación a. (bx) es equivalente a (ab) x.

5. Propiedad unitaria: La multiplicación de cada vector en un espacio vectorial dado con una cantidad de unidas escalar dará como resultado al vector actual.

4.2 Definición de Sub espacio vectorial

Sea V un espacio vectorial arbitrario sobre un campo F. Un subconjunto no vacío W de V es llamado sub espacio lineal de V, o simplemente un sub espacio, siempre que se cumplan dos condiciones:

(i) a + b 2 W siempre a, b 2 W, y

(ii) para 2 W siempre que r 2 F.

Está claro que todo sub espacio de un espacio vectorial contiene el vector cero, 0. De hecho, {0} es un sub espacio propio, llamado sub espacio trivial. Consideremos, por ejemplo, una ecuación lineal a, b, c, d 2 F. Si d 6= 0, entonces su conjunto de soluciones no puede ser un sub-espacio de F3 ya que x = y = z = 0 no será una solución, y por lo tanto los conjunto de soluciones no contienen 0 = (0, 0, 0)T . Por otro lado, como se señala a continuación, el conjunto solución de un sistema arbitrario homogéneo ax + by + cz = 0 es un sub espacio de F3.

Un sub espacio W de V es un espacio vectorial sobre F por derecho propio. Sabemos por supuesto que W es un subconjunto no vacío de V, el cual es cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar. Pero entonces W contiene 0, ya que 0W = 0 para cualquier w 2 W, y cada elemento w de W tiene su inverso aditivo -w en W, ya que -w = (−1) w. Pero el resto de los axiomas de espacio vectorial están en W, puesto que ya lo están en V. Por lo tanto, mantienen todos los axiomas del espacio vectorial en W.

Un hecho muy interesante sobre el espacio vectorial es que para cada espacio vectorial tenemos

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