Induccion Matematica

INTRODUCCION

El principio de Inducción Matemática es un método que se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas.

La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parametro n que toma una infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturales N.

INDUCCION MATEMATICA

Sea P(n) una proposición que depende de la variable n, con n perteneciente a los Naturales. Si:

1 satisface a P y,

k pertenece a los Naturales, k satisface P! (k+1) satisface P,

entonces todos los números naturales satisfacen P.

Usaremos el Axioma de Inducción Matemática para demostrar la validez, en los Números Naturales, de ciertas proposiciones P que depende de una variable n, con n perteneciente a los Naturales.

Una técnica muy sencilla consiste en definir un conjunto N’, subconjunto de N, formado por los elementos que verifican la propiedad a demostrar. Si logramos demostrar que para cualquier elemento a N’ se cumple que su sucesor, y que el cero, es decir, se cumple (en el argot del sistema N-B-G-Q) que N’ es inductivo, entonces habrá de concluirse que se verifica la propiedad en todo N, esto es, que

pasos para demostrar validez:

Verificaremos la proposición para el numero 1.

Supondremos que la proposición es verdadera para un numero natural cualquiera k. (Hipótesis de inducción).

Demostraremos la proposición para el numero natural (k+1).

Así, gracias al axioma de inducción Matemática, podemos concluir que la proposición la satisfacen todos los números naturales.

Ejemplo 1:

:

1+2+3+............+n = n(n+1), " n perteneciente a los naturales (*)

2

1= 1(1+1). Por lo tanto 1 satisface la proposición (*)

2

Supongamos valida la proposición (*) para k perteneciente a los Naturales, es decir supongamos que:

1+2+3+.........+k = k(k+1). (Hipótesis de inducción).

2

Demostremos que k - 1 también satisface la proposición (*), es decir, demostremos que:

1+2+3+.........+k+(k+1) = (k+1)(k+2).

2

Demostración:

(1+2+3+.......+k)+(k+1) = k(k+1) + (k+1)

2

= k(k+1)+2(k+1)

2

= (k+1)(k+2)

2

Luego

...