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INDUCCION A LAS MATEMATICAS


Enviado por   •  24 de Noviembre de 2015  •  Examen  •  1.638 Palabras (7 Páginas)  •  246 Visitas

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INDUCCION A  LAS MATEMATICAS

AXEL EMMANUEL MUNGUIA GARCIA

TPSI 4ºA

Sea   P   una propiedad definida en los números naturales ( enteros positivos ) . Si   1   satisface esa propiedad y además si a partir de cualquier natural   n   que satisface esa propiedad se llega a que   n   +   1 , también la satisface, entonces cada número natural la satisface.

Para probar que una propiedad   P   se cumple en los números naturales, usando el principio de inducción matemática, se siguen los siguientes pasos:

1° )  Se comprueba para   n   =   1     ( Comprobación ) .

2° )  Se asume que se cumple para   n   =   k     ( Hipótesis de inducción ) .

3° )  Se predice que se cumple para   n   =   k   +   1     ( Tesis ) .

4° )  Se demuestra que si se cumple para   n   =   k  ,  entonces se cumple para   n   =   k   +   1     ( Demostración ) .

Observación:   En algunos casos la propiedad se cumple a partir de un cierto natural   m   >   1  .  Dada esa situación, en el primer paso se comprueba para   n   =   m  .

Ejemplo 1

Demuestre por inducción matemática que:

Si   n   es un entero positivo, entonces   n ( n   +   1 )   es divisible por  2 .

a ) Sea   n    =    1 , entonces

n ( n   +   1 )    =    2     ( Verdadero ) .

b ) Sea   n   =   k , entonces:

k ( k   +   1 )   es divisible por   2     ( Hipótesis de inducción ) .

c ) Sea   n   =   k   +   1 , entonces:

( k   +   1 ) ( k   +   2 )   es divisible por   2     ( Tesis ) .

d ) Demostración:

( k   +   1 ) ( k   +   2 )   =    k ( k   +   1 )   +   2 ( k   +   1 )

k ( k   +   1 )   es divisible por   2    ( Por hipótesis de inducción ) .

2 ( k   +   1 )   es divisible por   2     ( Entero par ) .

Por lo tanto   ( k   +   1 ) ( k   +   2 )   es divisible por   2 .

Ejemplo 2

Demuestre por inducción matemática que:

2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 n   –   2 )    =    2 n 2

a ) Sea   n    =    1 , entonces:

4 n   –   2    =    2

2 n 2    =    2    ( Verdadero ) .

b ) Sea   n   =   k , entonces:

2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 k   –   2 )    =    2 k 2     ( Hipótesis de inducción ) .

c ) Sea   n   =   k   +   1 , entonces:

2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 k   –   2 )   +   ( 4 ( k   +   1 )   –   2 )    =    2 ( k   +   1 ) 2     ( Tesis ) .

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