Induccion Matematica

Inducción matemática

Que es ?

Este procedimiento de demostración de fórmulas cuantificadas universalmente, verifica primero que se cumple para los casos llamados básicos, y después, suponiendo que se cumple para los casos anteriores, se verifica para un elemento típico x arbitrario. Este último paso es llamado ``inductivo''. Se concluye entonces que la fórmula vale para cualquier x.

La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parametro n que toma una infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturales N.

LOS CONJUNTOS INDUCTIVOS

Los números naturales pueden ser introducidos con un conjunto N de clase inductiva, como el mínimo conjunto inductivo. Se introduce el concepto de número ordinal y se prueba que cualquier número natural es un número ordinal.

Peano (Giuseppe Peano, Cuneo-Piamonte, 1858 – Turín, 1932) introdujo los números naturales mediante un sencillo teorema consistente en cinco afirmaciones denominadas Postulado de Peano o Axiomas de Peano para los N.

Existe al menos un número natural, que llamaremos cero y designaremos por 0.

2) Existe una aplicación llamada aplicación siguiente que aplica

todo elemento n de N en otro elemento n* de N, llamado sucesor o

siguiente de n.

3) El cero no es sucesor de ningún otro elemento de N.

4) Dos elementos de N distintos no tienen igual sucesor, o sea, la aplicación

siguiente es inyectiva.

5) Todo subconjunto N’ de N, para el cual se verifique que contenga al

cero, y que el sucesor de cualquier elemento de N’ está en N’, coincide

con N. (Axioma de la Inducción Completa).

EL METODO DE INDUCCIÓN

La última afirmación del Teorema Peano, también llamada Axioma de la Inducción Completa permite probar resultados con los números naturales generalizando situaciones particulares.

Una técnica muy sencilla consiste en definir un conjunto N’, subconjunto de N, formado por los elementos que verifican la propiedad a demostrar. Si logramos demostrar que para cualquier elemento a N’ se cumple que su sucesor, y que el cero, es decir, se cumple (en el argot del sistema N-B-G-Q) que N’ es inductivo, entonces habrá de concluirse que se verifica la propiedad en todo N, esto es, que N’ = N

El método, en definitiva, consta de dos partes o teoremas parciales:

Teorema 1, o base de la demostración: es la demostración deductiva de que la

proposición se verifica para algún número natural dado a:

Proposición->f(a) cierta

Teorema 2, o paso de inducción, que es la demostración, de carácter también deductivo, de que si la proposición se supone cierta para un número natural

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