Integrables Dobles

Integrales dobles

Se sabe que una integral definida sobre un intervalo utiliza un proceso de límite para asignar una medida a cantidades como el área, el volumen, la longitud de arco y la masa. Esto se usará para definir la integral doble de una función de dos variables sobre una región en el plano.

Considere una función continua f tal que f(x,y)≥0 para todo (x,y) en una región R del plano xy. El objetivo es hallar el volumen de la región sólida comprendida entre la superficie dada por

z=f(x,y) Superficie sobre el plano xy.

y cuando el plano xy, como se muestra en la Fig. 14.8. Para empezar se sobrepone una red o cuadrícula rectangular sobre la región, como se muestra en la Fig. 14.9. Los rectángulos que se encuentran completamente dentro de R forman una partición interior ∆, cuya norma ‖∆‖ está definida como la longitud de la diagonal más larga de los n rectángulos. Después, se elige un punto (x_i,y_i ) en cada rectángulo y se forma el prisma rectangular cuya altura es f(x_i,y_i ), como se muestra en la Fig. 14.10 Como el área del i-ésimo rectángulo es

∆A_i Área del rectángulo i-ésimo

se sigue que el volumen del prisma i-ésimo es

f(x_i,y_i )∆A_i Volumen del prisma i-ésimo

y el volumen de la región solida se puede aproximar por la suma de Riemann de los volúmenes de todos los n prismas,

∑_(i=1)^n▒〖f(x_i,y_i )∆A_i 〗 Suma de Riemann

como se muestra en la Fig.14.11. Está aproximación se puede mejorar tomando redes o cuadrículas con rectángulos más y más pequeños, como se muestra en el ejemplo.

NOTA Una vez definidas las integrales dobles, se verá que una integral definida ocasionalmente se le llama integral simple.

Para que la integral doble de f en la región R exista es suficiente que R pueda expresarse como la unión de un número finito de subregiones que no se sobrepongan (ver figura 14.14) y que sean vertical u horizontalmente simples, y que f sea continua en la región R.

Propiedades de las integrales dobles

Las integrales dobles tienen muchas de las propiedades de las integrales simples.

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