Integral Doble

INDICE

Introduccion 3

Dedicatoria 4

CAPÍTULO 1

Integral Doble 5

Propiedades Fundamentales De Las Integrales Dobles 5

Integral Iterada 6

Inversión De Orden De Una Integral Iterada 6

Cambio De Variables En Integrales Dobles 9

Teorema (Cambio De Variable): 9

Teorema (Cambio De Variables Para Integrales Dobles). 9

CAPÍTULO 2

Integrales Triples 13

2. Propiedades De Las Integrales Triples 14

3. Calculo De Integrales Triples En Coordenadas Cartesianas. 15

4. Reducción De Integrales Triples A Integrales Iteradas 17

Cambio De Variables En Integrales Triples.- 18

Conclusiones 21

Bibliografia 22

INTRODUCCION

En este trabajo veremos cómo se aplica las integrales dobles y triples para hallar ya sea áreas o volúmenes respectivamente.

También usaremos el cambio de variable que nos ayuda a facilitar los problemas planteados y desarrollarlos de una manera fácil y sencilla sin tener que hacer cálculos complicados.

El trabajo que se muestra tiene como objeto el familiarizar al lector con los conceptos de integrales dobles y triples con cambios de variables

Dedicatoria

.

Si f(x,y) está definido sobre la región S⊂R^2, entonces la integral doble de f sobre S se define como:

∬_S^.▒f(x,y)dA=∬_S^.▒f(x,y)dxdy

Propiedades Fundamentales De Las Integrales Dobles

Regla de la linealidad:

Sean a y b dos constantes y f,g∶S⊂R^2→R funciones integrables en la región cerrada S, entonces af+bg es integrable en la región S.

∬_S^.▒[af(x,y)±bg(x,y)]dA=a∬_S^.▒f(x,y)dA±b∬_S^.▒g(x,y)dA

Regla de la dominación:

Si la funciones f,g∶S⊂R^2→R son integrables en la región cerrada S y f(x,y)≤g(x,y),∀(x,y)∈S entonces:

∬_S^.▒f(x,y)dA≤∬_S^.▒g(x,y)dA

Regla de la subdivisión:

Sea f,∶S⊂R^2→R una función continua en la región cerrada S si la región S=S_1∪S_2 donde S_1 y S_2 son regiones cerradas y disjuntas, entonces:

∬_S^.▒f(x,y)dA=∬_(S_1)^.▒f(x,y)dA+∬_(S_2)^.▒f(x,y)dA

Sea f,∶S⊂R^2→R un función integrable en la región cerrada S , y supongamos de m y M son los valores mínimos y máximos absolutos de f en S, tal que m≤f(x,y)≤M ∀ (x,y)∈S , entonces:

mA(S)≤∬_S^.▒f(x,y)dA≤MA(S)

Donde A(S) es el área de la región cerrada S.

Integral Iterada

El cálculo de la integral doble ∬_S^.▒f(x,y)dA se hace por cálculo sucesivo de dos integrales; primero se integra con respecto una variable y luego se integra el resultado con respecto a la otra variable. Normalmente cuando se operan estas integrales se realizan de adentro hacia afuera, como se muestra a continuación:

∬_S^.▒f(x,y)dA=∫_a^b▒[∫_(f(x))^(g(x))▒〖f(x,y)〗 dy]dx

∬_S^.▒f(x,y)dA=∫_c^d▒[∫_(j(y))^(h(y))▒〖f(x,y)〗 dx]dy

Inversión De Orden De Una Integral Iterada

Es útil a veces invertir el orden de integración de una integral iterada pues nos da mayor facilidad en el cálculo.

Ejemplo:

Calcular ∫_0^3▒∫_(2/3 x)^2▒e^(y^2 ) dydx

La primera 9inetgral que es respecto a y no se puede integrara entonces nos conviene realizar un cambio de orden:

S={(x,y)∈R^2:2/3 x≤y≤2,0≤x≤3}

Para ayudarnos a la inversión de orden es conveniente graficar la figura.

Invirtiendo el orden de integración tenemos:

S=∫_0^2▒∫_0^(3/2 y)▒e^(y^2 ) dxdy

S=∫_0^2▒〖e^(y^2 ) (├ x┤|_0^(3/2 y) ) 〗 dy

S=3/2 ∫_0^2▒〖ye^(y^2 ) 〗 dy

S=3/4(e^4-1)

Ejemplos De Integrales Dobles:

Calcular la integral doble ∬_S^.▒〖x^2 y〗 dA ,donde S es unan región limitada por y=2x+1,y=x^2+1

Hallando los puntos de intersección:

{█(y=2x+1@y=x^2+1)┤⟹2x+1=x^2+1

x=0 y x=2 ;son los puntos de interseccion.

Hallando la integral doble:

∬_S^.▒〖x^2 y〗 dA=∫_0^2▒∫_(x^2+1)^(2x+1)▒〖x^2 y〗 dydx

∬_S^.▒〖x^2 y〗 dA=∫_0^2▒├ (x^2 y^2)/2┤|_(x^2+1)^(2x+1) dx

∬_S^.▒〖x^2 y〗 dA=∫_0^2▒〖x^2/2 ((2x+1)^2-(x^2+1)^2 ) 〗 dx

∬_S^.▒〖x^2 y〗 dA=∫_0^2▒(2x^3+x^4-x^6/2) dx

∬_S^.▒〖x^2 y〗 dA=184/35

Calcular la integral doble ∬_S^.▒xy dxdy , donde S es la región limitada por la elipse x^2/a^2 +y^2/b^2 =1 y situado en el primer cuadrante.

Del grafico se deduce que:

0≤x≤a y 0≤y≤b/a √(a^2-x^2 )

Hallando la integral:

∬_S^.▒xy dxdy=∫_0^a▒∫_0^(b/a √(a^2-x^2 ))▒xy dydx

∬_S^.▒xy dxdy=∫_0^a▒├ (xy^2)/2┤|_0^(b/a √(a^2-x^2 )) dx

∬_S^.▒xy dxdy=∫_0^a▒(xb^2)/(2a^2 ) (a^2-x^2 )dx

∬_S^.▒xy dxdy=b^2/(2a^2 ) ∫_0^a▒x (a^2-x^2 )dx

∬_S^.▒xy dxdy=b^2/(2a^2 ) ├ ((x^2 a^2)/2-x^4/4)┤|_0^a

∬_S^.▒xy dxdy=〖a^2 b〗^2/8

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES DOBLES

Para calcular las integrales dobles existe, además del teorema de fubini otro método que es la técnica de cambio de variables

TEOREMA (CAMBIO DE VARIABLE):

Sea φ:t ϵ [a.b]⊆ R→φ_((t) ) ϵ R una función derivable con deriva φ^' continua en [a,b] y sea f:x ε φ([a,b])⊆R →f(x) ϵ R una función continua. Entonces se verifica que

∫_(φ_((b) ))^(φ_((a) ))▒f(x)dx=∫_a^b▒〖f((φ_((t) ))〗 φ^' (t)dt.

Y para las integrales dobles seria:

TEOREMA (CAMBIO DE VARIABLES PARA INTEGRALES DOBLES).

Sea :

∅:(u,v) ∈U⊆R^2→∅(u,v)∈R^2

Una función inyectiva, con derivadas parciales continuas en U tal que det D∅(u,v)≠0, PARA todo (u,v) ∈ U . Sea f:(x,y)∈R una funcion continua. Entonces

∬_(∅(u))^0▒f(x,y)dxdy=∬_U^0▒〖f(〗∅(u,v)).|DetD∅(u,v)|du.dv

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