Integral doble

Integral doble

Antes de dar una definición formal de la integral doble, daremos una idea intuitiva del concepto.

Consideremos una función continua : S  R2  R donde S es un rectángulo definido por S = [a, b]x[c, d], donde [a, b], [c, d] son intervalos a lo largo de los ejes x y y respectivamente, y que (x, y)  0  (x, y)S. En este caso la gráfica de z =(x, y) es una superficie que está arriba del rectángulo. El volumen delimitado por los planos

x = a, x = b, y = c, y = d debajo de la superficie y encima del rectángulo se llama integral doble de  sobre S y se denota por

Si, por ejemplo, (x, y) = k, donde k es una constante positiva y S es el rectángulo

S = [a, b] x [c, d] entonces

que es el volumen de una caja con base rectangular, con lados (b - a) y (d - c).

Consideremos ahora una función (x, y) continua tal que (x, y) 0  (x, y) en el rectángulo S. Procederemos a dar una idea intuitiva del cálculo del volumen que queda debajo de la superficie z = (x, y) y encima del rectángulo. Primero calcularemos el área de una sección transversal del sólido, obtenida por la intersección del sólido con el plano x = x0  (a, b) como se muestra.

Para x = x0 obtenemos una función (x0, y) continua en el intervalo [c, d]. El área de esa sección, A(x0), es

Para cada valor de x[a, b] tenemos una función A(x) a la cual asociamos un área transversal

El volumen del sólido es entonces

La integral anterior se conoce también como integral iterada ya que primero se integra con respecto a “y” y después el resultado se integra con respecto a “x”.

Como es el volumen calculado se tiene que

(1)

Si en el procedimiento anterior obtenemos una sección transversal del sólido, intersectando éste con un plano perpendicular al eje y en y = y0 entonces su área queda definida como A(y0)y su valor es

Para cada y[c, d] se tiene definida una función A(y) = y que representa el área de cada sección transversal. El volumen es entonces

(2)

Como el volumen calculado en (1) es el mismo que en (2) se tiene que:

Ejemplo 1. Calcular las siguientes integrales:

1. 2. 3.

LA INTEGRAL DOBLE COMO EL LÍMITE DE UNA SUMA DE RIEMANN

Sea S un rectángulo definido por . Una partición regular de S de orden n, son 2 colecciones de ordenadas de n + 1 puntos igualmente espaciados tal que a = x0 < x2 < ... < xn = b ; c = y0 < y2 < ... < yn = b

donde

Sea Sij el rectángulo [xi, xi +1] x [yj, yj +1]; (ui, vj) cualquier punto en Sij; x = xi - xi-1 ;

y = yi - yi-1. Lo anterior se muestra en la siguiente figura

El área de cada subrectángulo Sij es xy; (ui, vj) es el valor de la función en un punto de ese subrectángulo. (ui, vj) xy representa el volumen de un prisma rectangular como el que se muestra

Supongamos que : [a,b] x [c,d]  R es una función acotada con valores reales, la suma,

donde A = xy es llamada suma de Riemman para . La suma tiene n2 términos, cuando (x, y) 0 la suma anterior se aproxima al volumen acotado por la superficie y el rectángulo.

Definición. Si la sucesión {Sn} converge a un límite S cuando n y el límite es el mismo para cualquier selección de puntos (ui, vj) en los rectángulos Sij entonces decimos que  es integrable sobre S y escribimos

Cualquier función continua definida sobre un rectángulo es integrable.

Teorema de Fubini. Sea una función continua sobre un rectángulo S = [a, b]x[c, d] entonces

Ejemplo. ¿Cuál es el volumen de un granero que tiene una base rectangular de 6m por 12 m, paredes verticales de 9m de altura al frente (que está del lado que mide 6m) y 12 m atrás?. El granero tiene un techo plano. Use integrales dobles para calcular el volumen.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE

Sean y funciones integrables en un rectángulo S y se c una constante. Entonces

+ y c son integrables y se tienen las siguientes propiedades

1. Linealidad:

2. Homogeneidad:

3. Monotonía: Si (x, y) ≥ (x, y) entonces

4.

INTEGRAL DOBLE SOBRE REGIONES MÁS GENERALES

Hasta aquí sólo se han considerado rectángulos como regiones de integración. En este tema se definirán algunas regiones de integración más generales que se encuentran clasificadas por tipos.

Tipo I. Una región es del tipo I si tiene las siguientes características:

a≤ x ≤ b; g1(x) ≤ y ≤ g2(x), donde g1 y g2 son continuas y g1(x) ≤ g2(x)

para toda x en el intervalo [a, b]

Es decir, los límites para “x” son constantes y para “y” son funciones que dependen de x.

Una región de este tipo se ilustra enseguida

Note que los límites para x son constantes. Los límites para “y” se determinan así: colóquese en algún punto del intervalo [a, b], trace una flecha vertical en ese punto, apuntando hacia los valores crecientes de y. Tomando en cuenta que g1(x) debe ser ≤ g2(x); podrá identificar a g1(x), como la función cuya gráfica que está más abajo y como g2(x) como la gráfica que está más arriba. Si lo mismo sucede colocándose en cualquier otro punto del intervalo [a, b], entonces los límites para “y” se habrán determinado correctamente.

Tipo II. Una región es del tipo II si tiene las siguientes características:

c ≤ y ≤ d; h1(y) ≤ x ≤ h2(y), donde h1 y h2 son continuas y h1(y) ≤ h2(y)

para toda y en el intervalo [c, d]

Es decir, los límites para “y” son constantes y para “x” son funciones que dependen de y, como se muestra en la siguiente gráfica.

Note que los límites para y son constantes. Los límites para “x” se determinan así: colóquese en algún punto del intervalo [c, d], trace una flecha horizontal en ese punto, apuntando hacia los valores crecientes de x. Tomando en cuenta

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