Integración por sustitución

Integración por sustitución

Uno de los métodos más usados al resolver integral es el método de integración por sustitución, pero antes de explicar dicho método, primero escribiremos las fórmulas necesarias para realizar dicha integración.

Tabla de integrales

Sea , una función arbitraria de la variable , con tal que sea diferenciable, (quiere decir que dada , sea posible expresar su diferencial ), y sea  y  constantes reales, entonces[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

1.  siempre que .[pic 7][pic 8]
2. [pic 9]
3. [pic 10]
4. [pic 11]
5. [pic 12]
6. [pic 13]
7. [pic 14]
8. [pic 15]
9. .[pic 16]
10. [pic 17]
11. .[pic 18]
12. .[pic 19]
13. [pic 20]
14. [pic 21]
15. [pic 22]
16. [pic 23]
17. [pic 24]
18.  .[pic 25]
19. [pic 26]
20. [pic 27]

La manera de resolver este tipo de integrales es bastante simple, pues sólo basta con identificar la función , por medio de comparar con las fórmulas, y obtener  (el diferencial de ) como [pic 28][pic 29][pic 30]

[pic 31]

donde

[pic 32]

es decir,  es igual a la derivada de  con respecto a , multiplicado por el diferencial [pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

Y realizar las sustituciones correspondientes en las fórmulas 1-20. Por último, debemos expresar el resultado obtenido en términos de la variable origina. .[pic 37]

Para ello vamos a considerar los siguientes ejemplos:

[pic 38]

Identificamos como  lo que está dentro del paréntesis[pic 39]

[pic 40]

Para obtener el diferencial  derivamos  con respecto a , esto es,[pic 41][pic 42][pic 43]

[pic 44]

Ahora despejamos , multiplicando ambos lados de la ecuación anterior por , y obtenemos,[pic 45][pic 46]

[pic 47]

Y sustituyendo en la integral original obtenemos

[pic 48]

Es necesario sustituir  en el resultado para obtener al final,[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

Identificamos , y obtenemos su diferencial,[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

Notemos que en la integral aparece , y no , por lo tanto, dividimos el resultado entre 2 a ambos lados[pic 55][pic 56]

[pic 57]

sustituimos en la integral original

[pic 58]

[pic 59]

Identificamos  como el paréntesis elevado a la mayor potencia, en este caso[pic 60]

[pic 61]

de donde obtendremos , derivando[pic 62]

[pic 63]

de donde

[pic 64]

por lo tanto, sustituyendo en la integral original, obtenemos,

[pic 65]

[pic 66]

Primero identificamos  como lo que está dentro del paréntesis elevado a la mayor potencia, que en este caso el exponente es 4,[pic 67]

[pic 68]

Obtengamos , a partir de la derivada[pic 69]

[pic 70]

[pic 71]

Por lo tanto,  es[pic 72]

[pic 73]

sustituyendo en la integral original, nos queda

[pic 74]

por último, sustituimos , y tendremos[pic 75]

[pic 76]

[pic 77]

identificamos , y el diferencial  se obtendrá a partir de la derivada[pic 78][pic 79]

[pic 80]

Entonces, [pic 81]

Sustituimos en la integral original,

[pic 82]

[pic 83]

identificamos , ahora, obtengamos su derivada,[pic 84]

[pic 85]

de donde obtenemos

[pic 86]

al igual que en el ejemplo 2, en el diferencial tenemos  , y no , por lo que dividimos el resultado entre 2[pic 87][pic 88]

[pic 89]

sustituyamos en la integral original,

  [pic 90][pic 91]

...