Integral

En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:

•La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.

•Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.

•Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp (−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

Sin (x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1,3, 5, 7, 9, 11 y 13.

La función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).

Fórmula de Taylor Sea

F(x) una función definida en un intervalo que contiene al punto a, con derivada de todos los órdenes. El polinomio de primer grado p1(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) tiene el mismo valor que f(x) en el punto x=ay también, como se comprueba fácilmente, la misma derivada que f(x) en este punto. Su gráfica es na recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto a. Es posible elegir un polinomio de segundo grado, p2(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) + ½ f ' ' (a) (x-a)2, tal que en el punto x=a tenga el mismo valor que f(x) y valores también iguales para su primera y segunda derivadas. Su gráfica en el punto a se acercará a la de f(x) más que la anterior. Es natural esperar que si construimos un polinomio que en x=a tenga las mismas n primeras derivadas que f(x) en el mismo punto, este polinomio se aproximará más a f(x) en los puntos x próximos a. Así obtenemos la siguiente igualdad aproximada, que es la fórmula de Taylor(x)  f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2!) f ' '(a) (x-a)2 +...... + (1/n!) f (n)(a) (x-a) n El segundo miembro de esta fórmula es un polinomio de grado

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