Integrales Por Partes

2.3.2 Con cambio de Variables

Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente.

Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), x → u(x) → u(x)m , la regla de la cadena.

Ejemplo:

1.

2.

3.

4.

5.

2.3.4 Por partes

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Ejemplo #1

Encuentre la primitiva de



Hacemos y . Entonces u, v, du y dv son,

Usando la ecuación de integración por partes,

Este nuevo integral es fácil de evaluar.

Ejemplo # 2

Encontrar:



Hacemos y

Entonces u, v, du y dv son:

Ahora tenemos:

Y nuevamente hacemos:

Para obtener:

Ejemplo #3

Encontrar:



Haciendo:

y sabiendo que

Obtenemos:

Nuevamente hacemos para:

Sustituir y operar:

=

Ejemplo #4

Encontrar:



Haciendo:

y sabiendo que

Obtenemos:

Ejemplo #5

Encontrar:



Haciendo:

y sabiendo que

Obtenemos:

2.3.4 Trigonométricas.

Una integral se denomina trigonométrica cuando el integrando de la misma está compuesto de funciones trigonométricas y constantes. Para su resolución –desde luego que son válidos los teoremas de integración–, pero sobre todo se deben tener siempre presentes los i. a vi.

i. T5.11 (sen u)’=cos u u’

ii. T5.12 (cos u)’= –sen u u’

iii. T5.13 (tan u)’= sec2

u u’

iv. T5.14 (ctg u)’= –csc

2

u u’

v. T5.15 (sec u)’= sec u tan u u’

vi. T5.16 (csc u)’= -csc u ctg u u’

En lo general después de aplicar las diferentes sugerencias dadas en la teoría, pero muy en especial:

• Usar una identidad trigonométrica y simplificar, es útil cuando se presentan funciones trigonométricas.

• Eliminar una raíz cuadrada, se presenta normalmente después de completar un cuadrado

o una sustitución trigonométrica.

• Reducir una fracción impropia.

• Separar los elementos del numerador de una fracción entre el denominador de la fracción.

• Multiplicar por una forma unitaria g(x)/g(x) que al multiplicar

...