Aplicaciones de las integrales, tales como la parte gráfica del análisis

PROBLEMAS PROPUESTOS

Una vez estudiados los principios sobre integración y analizadas las diferentes técnicas de integración, se procede a desarrollar la parte práctica o de aplicaciones de las integrales como es el caso del análisis de gráficas.

Hallar el área que hay entre las graficas f(x)=x^2+2 y g (x)=1-x entre x = 0 y x = 1.

R./

La parábola se encuentra por encima de la recta característica importante para determinar la función que se debe integrar:

∫_0^1▒〖[f(x)-g(x)]=〗 ∫_0^1▒〖[(x^2+2)-(1-x^2)]dx=〗 ∫_0^1▒〖[(x^2+2-1+x^2 )]dx=〗

∫_0^1▒〖〖(2x〗^2+1)dx=〗 ∫_0^1▒〖〖2x〗^2 dx+∫_0^1▒〖dx=〗〗 ∫_0^1▒〖〖(2x〗^2+1)dx=〗

[2/3 x^2 ]+x

Al evaluar las integrales entre los rangos definidos en cada una de las funciones:

∫_0^1▒〖〖2x〗^2 dx+∫_0^1▒〖dx=〗〗 [2/3 x^2 ]+x=[2/3(1^2-0^2)]+(1-0)=5/3

Hallar el área de la región limitada por las gráficas de y .

R./

La intersección entre las gráficas se dan en los puntos x = -1 y x = 2, siendo estos los límites para poder hallar el valor del área.

∫_(-1)^2▒〖[g(x)-f(x)]=〗 ∫_(-1)^2▒〖[(-x^ +3)-(x-〖1)〗^2 ]d=〗

∫_(-1)^2▒〖[(-x^ +3)-(x^2-2x+1)]dx=〗

∫_(-1)^2▒〖[(-x^ +3-x^2+2x-1)]dx=〗

∫_(-1)^2▒〖(x-x^2+2)dx=[x^2/2-x^3/3+2x] 〗

evaluando la integral entre limites∶

[x^2/2-x^3/3+2x]=[2^2/2-〖(-1)〗^3/3]-[2^3/2-(-1)^3/3]+[2(2-(-1))]=23/6

3. Hallar el área de superficie lateral del solido que se obtiene al rotar la gráfica de , entre X = 3 y x = 8 alrededor del eje x.

R./

∫_(2√2)^(4√2)▒〖[f(x)]=〗 ∫_(2√2)^(4√2)▒〖[y^2/2]dy=1/2 ∫_(2√2)^(4√2)▒〖[y^2 ]dx=1/6 y^3 〗〗

Evaluando la integral sobre el eje y es:

1/6 y^3=1/6 [(4√2)^3-(2〖√2)〗^3 ]=29,5

4. Hallar la longitud de entre x = 1 y x = 3.

Por medio de las integrales podemos hallar volúmenes de sólidos de revolución, momentos o centros de masa.

R./

L=∫_a^b▒√(1-[(f´(x)) ́ ]^2 dx)

Derivada de la función

f(x)=x^3/6+1/2x

f(x)=((2x) x^3+6)/12x=(〖2x〗^4+6)/12x

f(x) (〖2x〗^4+6)/12x=f´(x)=(〖(8x〗^3)(6)+〖(2x〗^4)(0))/((12x)^2 )=

〖48x〗^3/〖144x〗^2 =x/3

Aplicamos la función L:

L=∫_a^b▒√(1-[(f´(x)) ́ ]^2 dx)=∫_1^3▒√(1-[(x/3)) ́ ]^2 dx)

=∫_1^3▒√(1-x^2/9 dx) =∫_1^3▒〖√(〖9-x〗^2/9 dx)=1/3 ∫_1^3▒√(9-x^2 dx)〗

La integral de la raíz se encuentra en tablas de integración para lo cual podemos decir que es directa:

1/3 ∫_1^3▒√(9-x^2 dx=) 1/3 x/2 √9-x^2+9/2 arsen (1/3)

5. La región limitada por las gráficas de y gira alrededor del eje X. ¿Cuál es el volumen del sólido que resulta de esta rotación?

R./

Se aplica la fórmula de solidos de revolución por el método e discos:

V=π∫▒[f(x)^2-g(x)^2 ]dx

La función mayor debe

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