ANALISIS DE LA GRAFICA

1.4.-ANALISIS DE LA GRAFICA

f(x) = 12x + 3x²

f '(x) = 12 + 6x

12 + 6x = 0

6x = -12

x = -12 / 6

x = -2

Punto crítico en x = -2,

f(x=2) = 12(-2) + 3(-2)²

f(2) = -24 + 3(4)

f(2) = -24 + 12

f(2) = -12

Entonces el punto crítico de f(x) es (-2, -12).

Eso nos genera 2 intervalos de análisis para crecimiento y decrecimiento: (-∞, -2) y (-2, +∞).

En el primer intervalo, si x < -2, tenemos que la derivada

f '(x) = 12 + 6x

tiene signo negativo porque el producto 6x siempre será < -12, y al sumarlo a 12 siempre será negativo.

Como en este intervalo la derivada es negativa, la función es decreciente.

En el otro intervalo, si x > -2, tenemos

f '(x) = 12 + 6x

el producto 6x será: o negativo > -12, o positivo. Por lo tanto, el resultado global 12 + 6x será siempre positivo.

Al ser la derivada positiva, deducimos que en este intervalo la función es creciente.

Para saber el resto (concavidad, puntos de inflexión y máximos y mínimos) requerimos de la segunda derivada:

f "(x) = [ f '(x) ] '

f "(x) = [ 12 + 6x ] '

f "(x) = 6

Como para cualquier valor de "x" la segunda derivada es positiva (+6), concluimos varias cosas:

- el punto crítico que hallamos anteriormente es un mínimo.

- no hay puntos de inflexión [no hay ningún valor de "x" que haga que f "(x) = 0].

- por la misma razón dada en el punto anterior, no hay intervalos de análisis de concavidad, y dado que f "(x) es positiva siempre, deducimos que la función siempre es cóncava hacia arriba (forma de U).

1.4.1.-CARACTERISTICAS DE LA GRAFICA

Nota: A veces puede ser difícil o aún imposible solucionar analíticamente todas las ecuaciones que se encuentra en Pasos 1, 2, y 3. A consecuencia, puede que no podríamos saber exactamente donde están las intersecciones en x, los puntos extremos, o los puntos de inflexión. Cuando sucede eso, podemos utilizar tecnología graficada para ayudarnos a determinar aproximaciones acuradas numéricamente.

1.4.2.-FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE

Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que

f( x1 ) < f( x2 ).

Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).

Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ).

Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x2 en los puntos

Resolución:

• La función y = x2 es estrictamente creciente en el intervalo [0, +¥) puesto que si

Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-¥, 0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x3 < x4 Þ x32 > x42 (por ejemplo, -7 < -3 y (-7)2 > (-3)2 ). Es estrictamente

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