Intervalo Y Radio De Convergencia

Ejemplo

Hallar el radio de convergencia de

Para x=0, se obtiene

f(0)=∑_(n=0)^∞▒〖n!x^n 〗

Para cualquier valor fijo de x tal que lxl > 0, sea U_n= n!x^n Entonces

lim┬(n→∞)⁡|U_(n+1)/U_n |= lim┬(n→∞)=|((n+1)!x^(n+1))/(n!x^n )|=|x| lim┬(n→∞) (n+1)=∞

Por consiguiente, por el criterio del cociente, la serie diverge para lxl > 0 y solo converge en su centro 0. Por tanto, el radio de convergencia es R=0

Ejemplo 2. Hallar el radio de convergencia de

∑_(n=0)^∞▒〖3(x-2)^(n+1) 〗

Solución para x ≠2sea u_n = 3(x-2)^(n+1). Entonces

lim┬(n→∞)⁡|U_(n+1)/U_n |= lim┬(n→∞)=|(3(x-2)^(n+1))/〖3(x-2)〗^n |=|x| lim┬(n→∞) (x-2)=|x-2|

Por el criterio del cociente, la serie converge si |x-2| < 1 y diverge si |x-2|>1. Por consiguiente, el radio de convergencia de la serie es R=1

Ejemplo 3

∑_(n=0)^∞▒((-1)^n (〖x+1)〗^n)/2^n

Solución siendo u_n = (-1)^(n+1) (〖x+1)〗^n se obtiene

lim┬(n→∞)⁡|U_(n+1)/U_n |= lim┬(n→∞)=|(((-1)^(n+1) (〖x+1)〗^(n+1))/2^(n+1) )/(((-1)^n (〖x+1)〗^n)/2^n )|=|x| lim┬(n→∞) |(2^n (x+1)^(n+1))/2^n |=|x-1|/(2 )

Por el criterio del cociente, la serie converge si |x-1|/(2 ) < 1 o |x-1|/(2 ) > a < 2. Por tanto, el radio de convergencia es R = 2. Como la serie esta centrada en x = 1, converge en el intervalo (-3, 1). Además, en los puntos terminales se tiene

∑_(n=0)^∞▒((-1)^n (〖-2)〗^n)/2^n =∑_(n=0)^∞▒2^n/2^n =∑_(n=0)^∞▒1

Diverge cuando es x=-3

∑_(n=0)^∞▒〖((-1)^n (〖2)〗^n)/2^n =〗 ∑_(n=0)^∞▒(-1)^n

Diverge cuando es x= 1

Ambos divergen. Por tanto, el intervalo de convergencia es (-3, 1) como se muestra abajo

-3 -2 c= -1 0 1

Ejemplo 4

f(0)=∑_(n=0)^∞▒x^n/n^2

Solución

lim┬(n→∞)⁡|U_(n+1)/U_n |= lim┬(n→∞)=|(x^n+1)/( n+1)^2 |=|x| lim┬(n→∞) |(x^(n+1)/((n+1)^2))/(x^n/n^2 )|=||n^2 x |/((n+1)^2 )|=|x|

Por tanto el radio de convergencia es R = 1. Como la serie es centrado en x = 0, converge en el intervalo (-1,1). Cuando x = 1, se obtiene la serie p convergente

∑_(n=0)^∞▒〖1/n^2 =1/1^2 +1/2^2 +1/3^2 +1/4^2 ….converge cuando x=1 〗

∑_(n=0)^∞▒〖(-1)/n^2 =(-1)/1^2 +(-1)/2^2 +(-1)/3^2 +(-1)/4^2 ….converge cuando x=-1 〗

Por consiguiente el intervalo de convergencia para la serie es [-1, 1]

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