Introducción A La Teoría De Probabilidad

Introducción a la teoría de probabilidad

Introducción

Este documento presenta brevemente los principios de la teoría de la probabilidad. Dicha teoría representa una de las herramientas matemáticas más importantes para la física, en especial para la teoría de la Mecánica Cuántica, así como en los desarrollos de la Física Estadística. La teoría de la probabilidad se presenta en forma de apuntes esquemáticos y sin demostraciones.

3.1. Interpretación de la probabilidad

Probabilidad clásica (a priori):

Asigna una probabilidad a un suceso antes de que este ocurra, basándose en el principio de simetría (casos favorables entre casos totales).

Probabilidad frecuencial:

La probabilidad de un suceso es la frecuencia con la que se observa.

Probabilidad subjetiva:

Se asigna la probabilidad a partir de la información previa.

Probabilidad como lógica:

Basada en razonamientos lógicos.

Probabilidad geométrica:

Basada en una medida de los sucesos (medida de los sucesos favorables entre medida total).

3.2. Probabilidad axiomática

Definición 3.2.1. (Espacio muestral, E) Conjunto de resultados posibles, mutuamente excluyentes, de un una variable aleatoria.

Definición 3.2.2. (Álgebra de sucesos, ) Conjunto de todos los sucesos (subconjuntos) que se pueden formar a partir de E. Si sus elementos son finitos se llama álgebra de sucesos de Boole, si son infinitos pero numerables, se le llama -álgebra.

La definición axiomática de la probabilidad es:

Definición 3.2.3. (Medida de la probabilidad) A una función

se le llama medida de la probabilidad si cumple las siguientes condiciones:

1. Si , entonces existe un valor , al que llamaremos probabilidad de S.

2. La probabilidad del suceso seguro (espacio muestral) es .

3. Dada una sucesión numerable de sucesos disjuntos (mutuamente excluyentes dos a dos) , entonces:

A partir de estos axiomas, se pueden demostrar las siguientes propiedades de la probabilidad.

Teorema 3.2.4. (Probabilidad del suceso imposible) La probabilidad del suceso imposible (conjunto vacío), es

Teorema 3.2.5. (Suma finita) Para toda colección finita de sucesos disjuntos , se cumple:

Teorema 3.2.6. (Probabilidad de la unión) Para todo par de sucesos y , se cumple:

En general, para una colección finita de sucesos , se tiene:

Teorema 3.2.7. (Ordenación) Para todo par de sucesos que cumplen , entonces, se cumple:

Teorema 3.2.8. (Cota) Para todo suceso , su probabilidad cumple

3.3. Probabilidad condicionada

La probabilidad de que se verifique un suceso sabiendo que ha ocurrido un suceso de llama probabilidad de condicionada a , que se define de la siguiente manera.

Definición 3.3.1. (Probabilidad condicionada) La probabilidad de condicionado a , si se define:

Las principales propiedades de la probabilidad condicionada son:

Teorema 3.3.2. (Probabilidad condicionada) La probabilidad condicionada, definida de esta manera, cumple los axiomas de probabilidad, y es una medida de la probabilidad del espacio muestral reducido .

Teorema 3.3.3. (Regla de la multiplicación) Dada una sucesión finita de sucesos , se cumple:

Teorema 3.3.4. (Probabilidad total) Dados un suceso y una colección finita de sucesos tal que cumplen:

1. Mutuamente disjuntos,

2. Recubren el espacio muestral

3. Tienen partes comunes con ,

Entonces, se verifica

El teorema de la probabilidad total proporciona una manera de calcular la contribución de cada una de las causas ( ) a la probabilidad de la consecuencia ( ).

Teorema 3.3.5. (de Bayes o de las hipotesis) Sea una colección de sucesos que cumplen las condiciones para que el teorema de la probabilidad total se verifique. Entonces,

Donde es la probabilidad a posteriori o hipótesis; y es la verosimilitud.

3.4. Independencia de sucesos

Definición 3.4.1. (Dos sucesos independientes) Dos sucesos y son independientes si y solo si se cumple

Esta definición no es suficiente si tenemos un mayor número de sucesos.

Definición 3.4.2. (Sucesos mutuamente independientes) Los sucesos de una colección finita son mutuamente independientes si cumplen

3.5. Variable aleatoria o estocástica discreta

Estudiaremos una variable aleatoria que puede tomar un conjunto de valores numerable (finito o infinito).

Definición 3.5.1. (Distribución de probabilidad discreta) La función de distribución de probabilidad de una variable discreta , asigna a cada valor de la variable la probabilidad del suceso que consiste que la variable tome dicho valor :

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