Investigacion De Operaciones

El ascensor de un edificio con bajo y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso. El piso en el que finaliza el viaje n-ésimo del ascensor sigue una cadena de Markov. Se sabe que la mitad de los viajes que parten del bajo se dirigen a cada uno de los otros dos pisos, mientras que si un viaje comienza en el primer piso, sólo el 25% de las veces finaliza en el segundo. Por último, si un trayecto comienza en el segundo piso, siempre finaliza en el bajo. Se pide:

a) Calcular la matriz de probabilidades de transición de la cadena

b) Dibujar el grafo asociado

c) ¿Cuál es la probabilidad de que, a largo plazo, el ascensor se encuentre

en cada uno de los tres pisos.

SOLUCIÓN

Los estados de la cadena se llaman pisos { 0, 1 , 2} haciendo corresponder el 0 al piso bajo y 1 y 2 al primer y segundo piso respectivamente.

Las probabilidades de transición son:

p00 = P(Rn=0 / Rn-1=0), esto es la probabilidad de que el ascensor se encuentre en la planta baja si en la etapa anterior estaba en la planta baja. Obviamente es 0, porque de etapa a etapa el ascensor se mueve.

p01 = P(Rn=1 / Rn-1=0), esto es la probabilidad de que el ascensor se encuentre en la planta primera si en la etapa anterior estaba en la planta baja.

p02 = P(Rn=1 / Rn-1=0), Obviamente es ½. Y así sucesivamente vamos obteniendo las distintas probabilidades de transición cuya matriz es:

b)

c) q x P= q =siendo q = (x,y,z) los valores de las probabilidades pedidas, añadiendo la ecuación x+y+z = 1

La cervecería más importante del mundo (Guiness) ha contratado a un analista de investigación de operaciones para analizar su posición en el mercado. Están preocupados en especial por su mayor competidor (Heineken). El analista piensa que el cambio de marca se puede modelar como una cadena de Markov incluyendo tres estados, los estados G y H representan a los clientes que beben cerveza producida por las mencionadas cervecerías y el estado I representa todas las demás marcas. Los datos se toman cada mes y el analista ha construido la siguiente matriz de transición de los datos históricos.

¿Cuáles son los porcentajes de mercado en el estado estable para las dos

Cervecerías grandes?

SOLUCIÓN

Tres estados {G, H, I}

El problema consiste en resolver el sistema formado por las ecuaciones siguientes:

(x, y, z).P = (x, y, z); x + y + z = 1, siendo x la probabilidad de que el consumidor compre G, y de que el consumidor compre H y z la del que consumidor compre I.

De ambas expresiones se obtiene el siguiente sistema:

3. En una peluquería hay un peluquero y un total de 10 asientos. Los tiempos de llegada tienen distribución exponencial, y llega un promedio de 20 clientes posibles por hora. Los que llegan cuando la peluquería está llena no entran. El peluquero tarda un promedio de 12 minutos en atender a cada cliente. Los tiempos de corte de pelo tienen distribución exponencial.

Qué modelo de colas puede representar a este sistema?

Número medio de clientes que no entran en la peluquería?

Probabilidad de que el peluquero este ocupado?

Número medio de individuos en la peluquería?

Tiempo medio en cola de un cliente?

SOLUCIÓN

SISTEMA DE COLAS M/M/1/DG/c/∞

Este sistema se refiere al tiempo entre llegadas y tiempo de servicio distribuidos exponencialmente, un solo canal, disciplina de cola general, capacidad de cola finita y centro emisor infinito. Este sistema es un M/M/1/DG/c/∞ con una capacidad limitada de c clientes que van a poder entrar a la cola, es decir si la cola estuviera llena, todas las llegadas

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