La aplicación de una serie de Тaylor

4.1 Definición de serie:

Una serie es una sucesión de un conjunto de términos que están formados de acuerdo a una ley determinada. Un ejemplo sería el conjunto de números: 12, 34, 45, 78, 23, 89.

La serie del anterior conjunto de números es: 12 + 34 + 45 + 78 + 23 + 89.

Si el número de términos es limitado, decimos que la serie es finita, de lo contrario, si los términos son ilimitados, entonces estaríamos hablando de una serie infinita.

4.1.1 Serie infinita:

Decimos que una serie es infinita cuando i toma el valor de todos los números naturales. En este tipo de series se pueden presentar 3 casos: Series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y; series que convergen para algunos valores x y y divergen para otros.

Esto nos lleva al siguiente teorema que dice: “Si la serie de potencias S an xn converge para el valor x0 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x /o xo < x0o”

4.1.2 Serie finita:

Es la sucesión de números tales que la proporción entre cualquiera de los términos (excepto el primero) y el número que le sigue por delante es una cantidad fija llamada razón.

Pongamos el siguiente ejemplo: La secuencia de números 2, 4, 8 ,16, 32, 63, 128 tiene razón= 2.

4.2 Serie numérica y convergencia. Prueba de razón y raíz:

Una serie numérica es una suma de infinitos términos. Si el resultado de la suma de todos los términos es un número real entonces será convergente. De lo contrario, si el resultado es infinito entonces diremos que es divergente.

Para hallar esta suma tendremos que hallar el límite de k. Si el limite no existe, entonces la serie oscilará (y por lo tanto diverge).

Criterio de D’Alembert:

Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos).

Si existe

Con, el Criterio de D'Alembert establece que:

* si L < 1, la serie converge.

* si L > 1, entonces la serie diverge.

* si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy:

Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

, siendo

Entonces, si:

* L < 1, la serie es convergente.

* L > 1 entonces la serie es divergente.

* L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión

4.3 Serie de potencias:

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:

Llamamos serie de potencias a toda expresión del tipo

donde Es decir

Es interesante saber cuáles son los valores de x Î R para los que las respectivas series funcionales se convierten en series numéricas convergentes.

4.4 Radio de convergencia:

Se llama radio de convergencia de la serie ∑▒a_(n ) (x-x_(0 ) )^n al número (real o finito) que se obtiene por cualquiera

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