La función proposicional

2.1 Definirá el concepto de función proposicional

La función proposicional no es una proposición, ya que no es ni verdadera, ni falsa. Es susceptible de ambas cosas, o de ninguna. Depende del modo de sustitución que hagamos en la variable que contiene. Por otro lado, la forma cuantificacional es aquella que contenga letras de predicado y letras de individuo, variables o constantes.

Entonces, la función proposicional, es aquella forma cuantificacional que tiene, al menos, una variable libre; es decir una variable que no cae bajo el alcance de un cuantificador. Dicho de otra manera, es un enunciado abierto de la forma P(x) es decir, se trata de una expresión que contiene alguna variable que al ser sustituida por un valor particular (número) se convierte en proposición

Existen dos modos de convertir una función proposicional en proposición:

1. Sustituyendo la variable libre por una constante, el cual se logra por medio de una proposición singular
2. Afectando dicha variable libre por un cuantificador, por medio de cuantificadores universal o existencial, según se muestre el caso.

Ejemplos:

1. Primer modo de convertir una función proposicional en proposición: “Luisa es inteligente”, “Pedro es inteligente”, “Juan es inteligente”. Todos coinciden en el predicado “Inteligente”

Por lo tanto, podemos recurrir a la expresión que tiene una forma común a las 3 proposiciones: “x es inteligente”. “x” es una variable individual que nos indica que el individuo o individuos a los que conviene la propiedad de “ser inteligente” está indeterminado. Por eso dicha expresión, por estar indeterminado el individuo al que corresponde x, no es ni verdadera, ni falsa. Por lo tanto no es una proposición. Se llama función proposicional; sin embargo es susceptible de llegar a ser proposición. Dicha función se simboliza P(x) y se lee “P de x”. La letra “x” es la variable individual libre.

Ahora, si hacemos el ejercicio a la inversa, sustituimos dicha variable libre por letras constantes que representan nombres propios de individuos. Pues, las variables son espacios vacíos que se pueden llenar con constantes de individuo y así convertirse en proposiciones verdaderas o falsas, según la sustitución sea o no conveniente.  Es así que cada nombre propio es una proposición singular donde se ha sustituido la variable x de la función proposicional.

Por otro lado, las funciones proposicionales también pueden ser negadas:

• –p(x) : x no es inteligente, por ejemplo.

Otros ejemplos:

• Sea la función proposicional  p(x): 2x-5 = 3. Si se remplaza “x” por 4 y “x” por 2, se obtienen, respectivamente, los siguientes valores de verdad:    p(4) = V   y   p(2) = F

• p(x): 2x + 5 > 11.  Si x = 4,  p(4) = 13  ∴  13 > 11   (Verdadero)

• q(y): 3y + 7 = 11. Si y = 5,  q(5) = 22  ∴  22 = 16   (Falso)

• r(x): 2x + 1 = 5. Si x = 2,  r(2) = 5  ∴  5 = 5  (Verdadero)

• s(x) : x es un animal, si x = mesa, se tendrá : mesa es un animal (Falso)

• t(x) : x es un ave, si x = flamenco, se tiene: el flamenco es un ave (Verdadero)

• u(x): x es una fruta, si x = manzana, se tiene: manzana es una fruta (Verdadero)

• v(x): x es la capital de Perú, si x=Santiago, se tiene: Santiago es la capital de Perú (Falso)

1. Segundo modo de convertir una función proposicional en proposición: Un segundo modo de convertir una función proposicional en proposición es anteponiendo a dicha forma un cuantificador universal o existencial. Siguiendo el ejemplo de la primera modalidad, antes la habíamos convertido en proposición singularizándola; sin embargo, ahora lo haremos cuantificándola:

• Si teníamos P(x) la cuantificamos y obtenemos (Ex) Px

Otros ejemplos:

• Para funciones negadas: -G(x) = (x)-G(x)
• Para proposiciones con fórmulas compuestas unidas por distintos conectivos, tenemos:

• “ F(x) ->G(x)” = (x) (F(x) -> G(x)
• “(B(y) v C(y)) ->H(y)” = (E(x)) [(B(y) v C(y)) -> H(y)]
•  “(M(a) ^H(x)) -> N(b)” = [M(a) ^(x)(H(x)] -> Nb

2.5 Definirá las relaciones binarias

Se denomina relación binaria a la relación R existente entre dos elementos a y b, de dos conjuntos Ay B respectivamente. Indicando que el elemento está relacionado con b. Esta relación se puede denotar de diversas formas:

1. Como pares ordenados (a,b)
2. Indicando que aRb
3. Como una mezcla entre los dos anteriores R(a,b)

Al conjunto de todos los elementos relacionados mediante la relación R en un conjunto lo denotamos como R(M)

Esta relación dependiendo del conjunto puede referirse a cualquier concepto referido con el conjunto.

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