Las nociones de vectores

INTRODUCCIÓN

Las nociones de vectores están implícitamente contenidas en las reglas de composición de las fuerzas y de las velocidades, conocidas hacía el fin del siglo XVII.

El alemán Grassman, en 1844, por métodos geométricos introdujo formalmente las bases del cálculo vectorial (suma, producto escalar y vectorial).

El inglés Hamilton, por cálculos algebraicos, llegó a las mismas conclusiones que Grassman; empleó por primera vez los términos escalar y vectorial.

Hacia el final del siglo XIX, el empleo de los vectores se generalizó a toda la física.

CONCEPTUALIZACIÓN:

Un vector es una magnitud física caracterizable mediante un modulo y una dirección u orientación en el espacio.

De un modo más formal y abstracto, un vector es una magnitud física, tal que una vez establecida una base, se representa por una secuencia de números o componentes independientes tales que sus valores sean relacionables de manera sistemática e inequívoca cuando son medidos en diferentes sistemas de coordenadas.

COMPONENTE DE UN VECTOR

Es muy común que representemos un vector utilizando los valores de sus componentes.

Las componentes cartesianas de un vector son los vectores que se obtienen al proyectarlo sobre los ejes de un sistema de coordenadas situado en el origen del vector.

a) Vectores en el Plano

En ocasiones es conveniente descomponer un vector en suma de otros situados sobre los ejes de un sistema de coordenadas cartesianos. Por ejemplo cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo que solo se puede mover en la horizontal, es conveniente descomponer esa fuerza en una componente horizontal que actúa en la dirección del movimiento y tiene un efecto directo sobre éste y otra vertical que no interviene directamente sobre el movimiento sino de forma indirecta al “aligerar “ el roce con el suelo. De ahí la conveniencia de la descomposición.

La fuerza queda como suma de sus componentes vectoriales ,

= +

Los vectores se pueden poner en función de los vectores unitarios y (horizontal y vertical resp.) de la siguiente forma: =ax ; =ay donde los escalares ax , ay , módulos de las componentes vectoriales se denominan componentes escalares o componentes cartesianas de . El vector puede ponerse como

= ax +ay o también =( ax , ay)

Nótese que ax , ay son las proyecciones del segmento a (módulo del vector ) sobre los ejes coordenados.

ax = a cosa y ay = acos b= a sena

donde a, b son los ángulos que forma el vector con los ejes X e Y respectivamente

• B) Vectores en el espacio

Todo lo anterior se puede generalizar al caso de vectores en el espacio tridimensional. Para ello tomemos un sistema de coordenadas basados en tres ejes perpendiculares tal como indica la figura.

El vector se puede poner en función de sus componentes como

= ax +ay + az o también =( ax , ay, az )

Las componentes ax , ay, az son las proyecciones ortogonales del segmento a sobre los ejes y por lo tanto

ax = acos a ay =a cosb az= a cosg

Donde g, a, b son los ángulos que forma el vector con los ejes Z, X,Y respectivamente.

• Para éstos se cumple que cos2 a + cos2b + cos2g=1

• El módulo del vector queda en función de las componentes de la forma

a2= ax2+ ay2+ az2

Al igual que en el caso del plano dejamos estos dos últimos resultados como ejercicio.

VECTORES OPUESTOS

Un vector opuesto a otro es el que tiene el mismo punto de aplicación, módulo y dirección pero sentido contrario. Así el vector opuesto a es .

VECTORES PARALELOS

Es aquel que en ningún momento de su prolongación corta al otro vector paralelo a él.

VECTORES ORTOGONALES

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero.

Si además de ortogonales los vectores son unitarios se llaman ortonormales.

VECTORES EQUIVALENTES

Dos vectores son equivalentes (a este nivel los consideramos iguales) si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Se suelen representar , , ..., o con negrita, u, v...

Se dice que un vector fijo tiene la misma dirección que otro si los segmentos que los definen pertenecen a rectas paralelas.

VECTORES NULO

En matemáticas, un vector nulo o vector cero se refiere a un vector que posee módulo (longitud) cero.

Por ejemplo, en el plano cartesiano, el vector nulo es el vector (0,0), es decir, que inicia y termina en el origen. Su representación gráfica es un punto.

En general en un espacio vectorial arbitrario V, el vector u nulo es el vector nulo si u + v = v + v + u para cualquier vector v.

Fijando una base, se tiene que el vector nulo siempre tiene las coordenadas (0,0, ..., 0).

El vector cero es un caso especial de tensor cero. Es el resultado del producto escalar por el número 0.

VECTORES UNITARIOS

En álgebra lineal, un vector unitario es un vector de módulo uno. Frecuentemente se lo llama también versor o vector normalizado.

MODULO DE UN VECTOR

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

PROYECCIÓN DE UN VECTOR

La proyección se expresa por la forma: , y viene dada por:

El vector proyección de: sobre se calcula por:

PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE UN RECTA

La proyección de un vector A sobre una recta r es otro vector cuya dirección coincide con la de la recta, cuyo punto de aplicación es el mismo de A, y cuyo extremo se obtiene trazando desde el extremo de A una perpendicular sobre la recta. Designaremos a la proyección de A sobre r por A sobre r

El modulo de la proyección de un vector sobre una recta es fácil de determinar en función del modulo del vector y del ángulo θ formado por el vector y la recta.

SUMA Y RESTA DE VECTORES

Una forma gráfica sencilla para sumar vectores es usando el método del paralelogramo, que consiste en trazar las paralelas a los vectores hasta formar y la suma correspondería a la diagonal que va del origen hasta el vértice más lejano

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