Matrices Y Vectores

Introducción

Para empezar, se definirá primeramente el término lineal. El término lineal dentro de las matemáticas tiene un significado muy amplio, a comparación de los diccionarios convencionales. Así mismo, dentro del Algebra Lineal elemental se hace referencia, en muchos tipos de problemas, a la línea recta.

Hechos fundamentales sobre líneas rectas

Pendiente m de una recta. La pendiente está dada por la ecuación m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 ).

Pendiente indefinida. Esto se da cuando la parte y_2-y_1de la ecuación de la recta es cero.

Cualquier recta se representa por la ecuación y=mx+b. Siendo m la pendiente de la recta, x la variable independiente, y la variable dependiente y b la intersección en el eje de las ordenadas.

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.

Dos rectas son perpendiculares entre sí, sí su pendiente es recíproca con el signo contrario. E. g. Una recta con pendiente m=3 y otra recta con pendiente m=-1/3 son perpendiculares por las razones ya dadas.

¿Qué es el algebra lineal?

Es la rama de las matemáticas que estudia los vectores, espacios vectoriales, transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales.

¿Dónde aplica el algebra lineal?

El algebra lineal se utiliza diariamente para resolver problemas en otras áreas de matemáticas, física, biología, ingeniería, estadística, economía, finanzas, psicología y sociología.

Temas a desarrollar

Norma y producto interno.

Algebra de matrices.

Matriz inversa.

Solución de ecuaciones lineales.

Norma y Producto Interno

Vectores

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

Origen

O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

Norma o Módulo

Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Un vector con norma = 1 se dice que es un vector unitario.

Dirección

Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido

Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Existen dos tipos de vectores y son:

Vector Renglón: ( X_1 ,X_2 ,X_3… X_n)┤

Vector Columna: (■(X_1@X_2@■(X_3@⋮@X_n )))

Nota: La multiplicación de vectores en MatLab sólo se puede hacer cuando se tiene un vector renglón por un vector columna.

Se utiliza el símbolo Rn para denotar al conjunto de todos los ‘n’ vectores conformado por número reales, la ‘n’ representa el número de componentes en el vector. Para número complejos se utiliza Cn.

Norma y Producto interno de vectores

La norma se representa por medio del signo de valor absoluto, |A| = Norma del Vector A

A veces se utiliza doble línea ||A||

Norma de un vector en R2

V= (4,3)

|V|= √(4^2+ 3^2 )

|V|= 5

Se observa que la norma del vector en R2 de la forma (x,y) se define como:

|A| = √(x^2+ y^2 )

De igual manera un vector en R3 de la forma A=(x,y,z), su norma seria:

|A| = √(x^2+ y^2+ z^2 )

Por cada componente o dimensión que se agregue al vector, se le agregará ese elemento al cuadrado, en la suma dentro de la raíz.

Por ejemplo:

Si A = (2,-1,3,4,-6)

|A| = √(2^2+〖-1〗^2+3^2+4^2+〖-6〗^2 )

|A| = √66

El producto interno, también conocido como producto punto o producto escalar se representa de la siguiente manera:

Si A = (x,y,z) y B = (x2 , z2 , y2 )

Entonces:

A ∙B = x(x2 ) + z(z2 ) + y(y2 )

Por ejemplo, si A = (3,-2,6) y B=(4,-8,2)

A ∙ B = 3(4 ) + -2(-8 ) + 6(2 ) = 12+16+12 = 40

Ahora que se conoce el producto interno, se explicará otro método para obtener la norma de un vector, que más adelante servirá mucho para obtener la norma de una matriz.

V = (x,y)

|V| = √(V ∙V)

Retomando el ejemplo de la página anterior.

V = (4,3)

|V| = √(V ∙V)

V ∙V = (4x4) + (3x3)

|V| = 5

Se observa que el resultado es el mismo en los dos métodos.

Esta operación no solo nos permite el cálculo de la longitud de los segmentos orientados que representan (sus módulos), sino también calcular el ángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar también se puede hallar en función de sus módulos y del coseno del ángulo que forman mediante la fórmula:

r • v = |r||v| cos (ϴ)

Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0, 180 o π.

Dos vectores son perpendiculares u ortogonales si su producto interior es igual a 0.

Si cada par de vectores es ortogonal y cada vector es unitario, se dice que es un conjunto ortonormal.

Propiedades del Producto Interno:

A • 0 = 0

A• B = B• A

A• (B + C) = A • B + A • C

(ϕA) • B = A • (ϕB)

Norma y Producto interno de Matrices

Una matriz es un arreglo bidimensional de números o elementos acomodados en filas y columnas

Sean A y B dos matrices mxn, el producto interno se define como:

A B = tr(A’B) tr=traza

Por ejemplo:

A = y B =

A’B = =

A B = tr = 23 + 7 = 30

La traza es la suma de los elementos de la diagonal principal.

La norma de una matriz A se define como:

|A| = √(A ∙A)

Comandos en MatLab

Comando

Vectores Matrices

Producto Punto dot(V1, V2) trace(V1’ V2)

Norma norm(V,2)

Algebra de Matrices

El algebra de matrices concite en toda las operaciones que se pueden realizar con una matriz, podemos decir que las principales serian las operaciones básicas y las matrices

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