Vectores y matrices. Conceptos

Tema 3: Vectores y matrices. Conceptos

básicos

1. Definición

Matlab está fundamentalmente orientado al trabajo y el cálculo matricial.

Veremos que las operaciones están definidas para el trabajo con este tipo de

elementos. Antes de empezar a manejar y operar con ellas veamos cómo se definen.

Como en casi todos los lenguajes de programación, en Matlab las matrices y

vectores son variables a las que se les puede dar nombres. Para definir una matriz no

hace falta establecer de antemano su tamaño (de hecho, se puede definir un tamaño y

cambiarlo posteriormente). Matlab determina el número de filas y de columnas en

función del número de elementos que se introducen (o se utilizan). Las matrices se

definen con los elementos entre corchetes y por filas; los elementos de una misma fila

están separados por blancos o comas, mientras que las filas están separadas por

pulsaciones intro o por caracteres punto y coma (;).

Por ejemplo, el siguiente comando define una matriz A de dimensión (3x3):

>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

La respuesta del programa es:

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Veamos en el Workspace como las almacena Matlab (figura 12):

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Figura 12

A partir del momento en que tenemos definidas diversas matrices, se pueden

operar. Matlab puede hacer esto por medio de operadores o por medio de funciones.

2. Operaciones elementales

Operaciones básicas como suma, producto o trasposición de hacen como se

muestra a continuación, permitiéndose algunas operaciones no definidas

matemáticamente:

Operador suma (+)

Utilizado entre matrices de iguales dimensiones, obtiene la suma elemento a

elemento. Utilizado entre una matriz y un escalar, suma el escalar a cada elemento de

la matriz.

Operador resta (-)

Idéntico a la suma en su utilización.

Operador producto (*)

Utilizado entre matrices calcula el producto matricial. Las dimensiones de las

matrices deben ser congruentes. Utilizado entre una matriz y un escalar, multiplica el

escalar por cada elemento de la matriz.

Operador producto elemento a elemento (.*)

Se utiliza entre dos matrices de iguales dimensiones y multiplica elemento a

elemento, obteniendo otra matriz de igual dimensión.

Operador potenciación (^)

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Si c es un entero y A es una matriz cuadrada, A^c calcula el producto A*A*A

.............. *A, c veces.

Operador potenciación elemento a elemento (.^)

A.^B da como resultado una matriz cuyo elemento ij es aij^bij.

A.^c da como resultado una matriz cuyo elemento ij es aij^c.

c.^A da como resultado una matriz cuyo elemento ij es c^aij.

Operador división (/) (\)

En Matlab existe el operador división a la derecha (/) y división a la izquierda

(\).

La utilización entre matrices es la siguiente:

- \ división-izquierda: A\B

Si A es cuadrada A\B=inversa(A)*B. Si A no es cuadrada A\B es la solución en

el sentido de mínimos cuadrados del sistema AX=B.

- / división-derecha: A/B

Si B es cuadrada A/B=A*inversa(B). Si B no es cuadrada, A/B es la solución del

sistema XB=A.

Operador división elemento a elemento (./) (.\)

A./B da como resultado una matriz cuyo elemento ij es aij /bij.

A.\B da como resultado una matriz cuyo elemento ij es bij /aij.

Operador traspuesta (‘)

A’ da como resultado la matriz transpuesta de A.

3. Operaciones por medio de funciones

En menú de la ayuda: matlab\elmat - Elementary matrices and matrix

manipulation y matlab\matfun - Matrix functions - numerical linear algebra, se pueden

encontrar las diversas funciones que se aplican a las matrices. Destacamos las más

elementales como:

inv(A) da como resultado la matriz inversa de A.

det(A) da como resultado el determinante de A.

trace(A) da como resultado la traza de A.

rank(A) da el rango de A

Debe destacarse que la mayoría de las funciones definidas en el programa se

ejecutan sobre cualquier matriz aplicándose elemento a elemento.

Por ejemplo:

>> Sin(A)

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Ofrece como respuesta una matriz del mismo tamaño que A cuyos elementos

son el seno del correspondiente elemento de A:

0.8415 0.9093 0.1411

-0.7568 -0.9589 -0.2794

0.6570 0.9894 0.4121

4. Otras formas de definir matrices

Algunas veces, introducir matrices por el teclado no es práctico. Veremos otras

formas más potentes de generar matrices que luego, tras modificaciones nos pueden

llevar a definir la que nos interesa. Los comandos a utilizar se encuentren en

matlab\elmat.

Algunas de estas funciones son las siguientes:

eye(n) forma la matriz identidad de tamaño (nxn)

zeros(m,n) forma una matriz de ceros de tamaño (mxn)

zeros(n) forma una matriz de ceros de tamaño (nxn)

ones(n) forma una matriz de unos de tamaño (nxn)

ones(m,n) forma una matriz de unos de tamaño (mxn)

rand: este comando genera números pseudoaleatorios distribuidos

uniformemente entre 0 y 1. Cada llamada proporciona un nuevo número.

rand(n): genera una matriz de números pseudoaleatorios entre 0 y 1, con

distribución uniforme, de tamaño nxn.

rand(m,n): igual que en el caso anterior pero de tamaño mxn.

5. Manipulación de matrices

Con este programa es posible crear matrices a partir de una dada, extraer o

cambiar elementos de una matriz y, en general, manipular de casi cualquier forma

estos elementos. Veamos los diversos caminos para realizarlo:

- Crear una nueva matriz que reciba alguna característica o propiedad de la de

partida

- Componer una matriz a partir de submatrices más pequeñas.

- Mediante la manipulación de los elementos de la matriz de partida.

Características de una matriz:

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Destacamos algunos comandos que permiten trabajar con las características o

elementos de una matriz de partida:

size (A), length(A) nos dan información sobre las características de la matriz

A, en este caso dimensión de la matriz o longitud del vector.

zeros (size(A)) genera una matriz de ceros del mismo tamaño que A.

ones(size(A)) lo mismo con matriz de unos

A=diag(x) devuelve una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son

los del vector x.

triu(A) y tril(A)

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