Ley de enfriamiento de newton

Ley de Enfriamiento de Newton:

La temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad que es proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el medio externo y el cuerpo.

[pic 1]       (1)

t= Tiempo
T= Temperatura del objeto

Tm= Temperatura del medio

K= Constante proporcional

Procedemos a la solución de la ecuación numero (1) y Separando variables, para poder determinar con que tipo de ecuación se puede resolver separable, exacta, homogénea, bernuli, ricatti.
[pic 2]        (2)

Notamos que esta ecuación diferencial se puede resolver por el método de ecuaciones separables. Integramos cada miembro de la ecuación.

[pic 3]      (3)

Integramos en ambos lados, la integral de la izquierda sale con ponencias de X ([pic 4]), la parte derecha es la integral dt por la constante K  que esta fuera de la integral.
Así:
[pic 5]      (4)

Para poder descartarlo el ln de la ecuación multiplicamos a ambos lados por euler (e).

[pic 6]           (5)

El ln y el euler del lado izquierdo se descartan y en la parte derecha se aplica las propiedades de la función exponencial ([pic 7]).
[pic 8]         (6)

[pic 9] Se puede expresar como una constante  C, en la ecuación numero (6).

[pic 10]         (7)

Despejamos T de la ecuación numero (7).

[pic 11]   (8)

Obtendríamos la ecuación para obtener la temperatura de un objeto, dependiendo de la temperatura del medio ambiente y del tiempo.

Ejemplo 4. Enfriamiento de un pastel:

Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300°F. Después de 3 minutos, 2OOºF. ¿En cuanto tiempo se enfriará hasta la temperatura ambiente de 70ºF?

En la ecuación (1) de Ley de enfriamiento de Newton, percibimos que Tm= 70 así que debemos resolver el ejercicio de valor inicial.

[pic 12] 

Despejamos la formula tal que nos de una de la las ecuaciones conocidas para resolver.

[pic 13]   

Podemos notar que es una ecuación separable ya que pudimos separar las variables correctamente (dT-dt). Ahora aplicamos integrales en ambos miembros.

[pic 14]   

Integramos en ambos lados, la integral de la izquierda sale con ponencias de X ([pic 15]), la parte derecha es la integral dt por la constante K  que esta fuera de la integral.

[pic 16]

Para poder descartarlo el ln de la ecuación multiplicamos a ambos lados por euler (e).

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