Limites

CONCEPTO DE CONTINUIDAD

La Real Academia Española establece que el significado de la palabra Continuidad es: “Unión natural que tienen entre sí las partes del continuo”.

En matemáticas, el concepto de Continuidad está asociado al concepto de función. Si se considera la continuidad aplicada a funciones de variable real, una función se denominará continua, en un intervalo, si la gráfica de la función no presenta saltos, lo cual indica que esta gráfica está compuesta por una sola “pieza”.

Para clarificar mejor la idea se presenta la gráfica de una función que no es continua (estas funciones se denominan funciones discontinuas).

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Fuente: Costa, T. (2011). IACC.

A continuación se observa una definición formal del concepto de continuidad de una función de variable real. Primero, se estudiará la continuidad de una función de variable real en un punto del dominio y, luego, se definirá la continuidad de una función de variable real en un conjunto.

Definición. Considere :fA⊂→ una función de variable real y 0xA∈. Se dirá que fes una función continua en 0xA∈ si y solamente si:

()()()()()0000xxfxfxεδδε∀>∃>−<⇒−<

La definición de continuidad nuevamente está dada en términos de εδ−. Sin embargo, si observa más detalladamente la definición podrá ver que una función de variable real f es continua en 0x si el límite de la función f en ox, es exactamente ()0fx. Es decir, RRAf→⊂: función de variable real es continua en 0xA∈ si y solamente si ()()00limxxfxfx→=. Observe que este hecho simplifica de sobremanera el estudio de la continuidad en un punto, ya que solo se debe determinar el límite de función en el punto.

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Ejemplo. Considere la función de variable real ()()sen2si02si0xxfxxx≠=

 =. Observe que la función está bien definida en todo el conjunto de los números reales. Determinemos si la función de variable real f es continua en 0x=.

Solución. Para determinar si la función es continua en 0x= basta determinar si f admite límite en 0x= y si este es igual a ()0f.

Primero observe:

()()()()()00000sen2limlimsirealizamoselcambiodevariable2obtenemos:senlim2senlim2sen2lim2xxuuuxfxxuxuuuuuu→→→→→======

Por otro lado, ()02f=, por lo tanto, la función de variable real ()()sen2si02si0xxfxxx≠=

 = es continua en 0x=, ya que ()()0lim02xfxf→==.

Definición. Dada una función de variable real ()fx, se dirá queRx∈0 es un punto de discontinuidad de f si y solamente si f no es continua en 0x.

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Ejemplo. Considere la función de variable real RRf→+: definida por ()42si0321si1xxxfxxxx−≠=−+

 = y analice si la función f es continua en 1x=.

Solución. Primero observe que la función está bien definida en +R ya que los únicos puntos de conflicto

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