Lineales y sus propiedades

LINEALES Y SUS PROPIEDADES

Lineales

En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

f(x) = mx + b

Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b = 0 de la forma:

f(x) = mx

Mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

f(x) = mx + b

Cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b = 0) es un ejemplo también de transformación lineal, en el contexto de álgebra lineal.

[pic 1]

        Ejemplo

Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma:

y = mx + b

Que se conoce como ecuación de la recta en el plano x, y.

En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

y = 0,9x + 3

En esta recta el parámetro m es igual a 1/2 (correspondiente al valor de la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y = 2.

En la ecuación:

y = –x + 10

la pendiente de la recta es el parámetro m = –8, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y = 5, dado que el valor de b = 5.

En una recta el valor de m se corresponde al ángulo θ de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:

m = tanθ

[pic 2]

Funciones lineales de diversas variables

Las funciones lineales de diversas variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma.

f(x, y) = a1x + a2y

Representa un plano y una función

f(x1, x2, ..., xn) = a1x1 + a2x2 + ... + anxn

Representa una hipersuperficie plana de dimensión n y pasa por el origen de coordenadas en un espacio (n + 1)-dimensional.

Concepto de función lineal: La función que a cada x real le hace corresponder el número real f(x) = mx + n, (con m y n también reales), se denomina función lineal.

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