Método Variables Separables, Reducibles a Separables y Homogéneas
Enviado por 1998paolakvl • 3 de Diciembre de 2021 • Resumen • 2.478 Palabras (10 Páginas) • 255 Visitas
Método Variables Separables, Reducibles a Separables y Homogéneas
Métodos para resolver una EDO de primer orden:
Toda ecuación de primer orden, ordinaria y de primer grado se puede escribir de cualquiera de las dos siguientes formas:
( I ) [pic 1]
( II ) [pic 2]
Método Variables Separables.
Este Método es posible si [pic 3] y [pic 4]son factorizables como productos de una función de x por otra función de y. [Igualmente para la f(x, y) también debe ser factorizable]
Esto es:
[pic 5]
Podemos separar las funciones de x y agruparlas con [pic 6], igual para la [pic 7].
Esto lo logramos aplicando un factor de separación. [pic 8]
[pic 9]
Quedando [pic 10]
Integrando obtenemos la solución general.
[pic 11]
Ejemplo 1:
Resuelva [pic 12]
Separando variables. [pic 13]
[pic 14]
Dividiendo la función racional de x: [pic 15]
[pic 16][pic 17]
Integrando: [pic 18]
[pic 19]
Multiplicamos por 2.
[pic 20] Es la solución general (implícita)
Ejemplo 2:
Resuelva [pic 21]
Separando Variables
[pic 22]
Integrando
[pic 23]
por propiedades de los logaritmos
[pic 24]
Aplicando Antilogaritmo (función exponencial)
[pic 25]
[pic 26] Solución General (explícita)
Ejemplo 3: emplea factor común binomio
[pic 27]
[pic 28]
[pic 29]
Separando Variables
[pic 30]
Integrando
[pic 31]
[pic 32] Solución General (implícita)
Problemas De Valor Inicial (P.V.I.)
Aquella Ecuación Diferencial que tiene una condición inicial se conoce un punto de la solución particular: tiene la forma:
( I ) [pic 33] sujeta a [pic 34]
( II ) [pic 35] sujeta a [pic 36]
Primero obtenemos una solución general y después se evalúa la constante en la condición inicial obteniéndose la solución particular al problema de valor inicial.
Ejemplo 1:
[pic 37] Sujeta a [pic 38].
Ecuación Ordinaria, de primer orden, lineal, de primer grado además es de variables separables.
[pic 39]
[pic 40]
Integrando.
[pic 41]
[pic 42]
[pic 43]
[pic 44]
Aplicando propiedades de los logaritmos
[pic 45]
Aplicando antilogaritmos (Función exponencial).
[pic 46]
[pic 47]
[pic 48] Solución General implícita.
Para [pic 49]
[pic 50]
[pic 51]
Por lo tanto:
[pic 52]
[pic 53]
[pic 54] Solución Particular implícita.
Dividimos entre [pic 55].
[pic 56]Solución Particular explícita
Ejemplo 2:
[pic 57], sujeta a[pic 58].
Separando variables [pic 59]
Integrando.
[pic 60]
[pic 61]
[pic 62] Solución General (implícita).
Para [pic 63].
[pic 64]
[pic 65]
[pic 66]
Sustituyendo en la solución general. Nos da la solución particular (implícita)
[pic 67]
Aplicando Tangente.
[pic 68]
[pic 69] Solución Particular, explícita de la forma [pic 70]
5, 2.2 [pic 71]
Separando variables . Integrando [pic 72][pic 73]
Quedando la solución general (implícita) , [pic 74]
por propiedades de logaritmos [pic 75]
Aplicando la inversa de logaritmo (Función exponencial) [pic 76]
La solución general explícita es: [pic 77]
8, 2.2 [pic 78]
Por ley de exponentes [pic 79]
Factorizando [pic 80][pic 81]
Separando variables [pic 82]
Reacomodando e Integrando [pic 83]
IPP [pic 84]
[pic 85]
Solución general (implícita): [pic 86]
12, 2.2 el diferencial de una función es [pic 87][pic 88]
Separando variables [pic 89]
Integrando [pic 90]
[pic 91][pic 92]
En donde [pic 93]
, [pic 94]
La solución general implícita, es o bien [pic 95][pic 96]
14, 2.2 resuelva la ED [pic 97]
Separando variables [pic 98]
Integrando cambiando variable [pic 99][pic 100]
[pic 101][pic 102]
[pic 103]
Solución general implícita [pic 104]
17, 2.2 resuelva la ED [pic 105]
Separando variables e integrando [pic 106][pic 107]
Por fracciones parciales ; [pic 108] [pic 109] [pic 110] [pic 111] [pic 112] [pic 113] Solución general implícita [pic 114] | Completando el TCP [pic 115] [pic 116] [pic 118][pic 117] [pic 119]
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Aplicando antilogaritmo , por ley de exponentes [pic 121][pic 122]
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