Métodos numéricos en la determinación de una curva solución:

Métodos numéricos en la determinación de una curva solución:

Método de Euler

Jefte Daniel Patiño Pedraza – 2160204

Laureen Nicole Carvajal Oyaga – 2160181

Profesor:

Élder Jesús Villamizar Roa

Universidad Industrial de Santander

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Bucaramanga – Santander

2017

Ejercicio sección 2,2

Modelo matemático

47. Puente colgante

Vimos que un modelo matemático para la forma de un cable flexible tendido entre dos soportes verticales es

[pic 1]

Donde W denota la porción de la carga vertical total entre los puntos P1 y P2. La ED (10) es separable bajo las siguiente condiciones que describen un puente colgante: supongamos que los ejes x y y son como indica la figura 2.2.5 es decir, el eje x corre a lo largo de la carretera horizontal y el eje y atraviesa el punto (0, a), que es el punto más bajo de un cable tendido sobre el tramo de puente, y coincide con el intervalo [-L/2, L/2]. En el caso de un puente colgante, el supuesto acostumbrado es que la carga vertical en (10) es solo una carretera uniforme distribuida a lo largo del eje horizontal. En otras palabras, se supone que el peso de todos los cables es insignificante en comparación con el peso de la carretera, y que el peso por unidad de longitud de la carretera (libras/pie) es una constante P. Utilice esta información para formular y resolver un problema adecuado de valor inicial a partir del cual se determine la forma de cada uno de los cables tendidos en un puente colgante. Exprese su solución del PVI en términos de altura h y longitud L.

[pic 2]

(Figura 2.2.5)

Solución

Puesto que la tensión T1 (o magnitud T1) actúa en el punto más bajo del cable, utilizamos la simetría para resolver el problema en el intervalo [0, L / 2]. La suposición de que la calzada es uniforme (es decir, pesa una constante ρ libras por pie horizontal) implica W = Px, donde x se mide en pies y 0 ≤ x ≤ L / 2. Por lo tanto (10) se convierte en:

dy / dx = (P / T1) x.

Con condición inicial  y (0)=a

Por medio del teorema de existencia y unicidad tenemos que      y que    . Como F(x,y) y dF/dy  son continuas en  regiones que contengan el punto (0, a ) por lo tanto se garantiza el teorema.[pic 3][pic 4]

Por el método de separación de variables obtenemos:

dy= (P/T1)x dx

[pic 5]

                                                                                           [pic 6][pic 7]

Resolviendo la condición inicial encontramos que c=a; por lo que nuestra solución para la EDO es:

[pic 8]

Vemos de la figura 2.2.5 que  y (L / 2) = h + a. Aplicando esta última condición a y (x) = (P/ 2T1) x2 + a nos permite expresar ρ / 2T1 en términos de h y L:

[pic 9]

Como y (x) es una función par de x, la solución es válida en -L / 2 ≤ x ≤ L / 2.

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