METODOS PARA LA RESOLUCION DE SISTEMAS LINEALES: PRELIMINARES

METODOS PARA LA RESOLUCION DE SISTEMAS LINEALES: PRELIMINARES

En esta tercera parte se consideran técnicas para resolver el sistema de ecuaciones lineales:

[pic 1]

Los procedimientos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales se dividen fundamentalmente en dos grupos:

1. procedimientos exactos o técnicas directas, que son algoritmos finitos para cálculo de las raíces de un sistema (tales como la regla de Cramer, el método de Gauss, etc.);
2.  procedimientos iterativos, los cuales permiten obtener las raíces de un sistema con una exactitud dada mediante procesos infinitos convergentes (´estos incluyen el método de iteración, el de Seidel, el de relajación, etc.). Debido al inevitable redondeo, incluso los resultados de procedimientos exactos son aproximados, viéndose comprometida, en el caso general, la estimación del error de las raíces. En el caso de procesos iterativos ha de añadirse el error del método.

En el caso de procesos iterativos ha de añadirse el error del método. Para resolver un sistema lineal como el de (XIII.1) están permitidas tres operaciones en las ecuaciones:

1. la ecuación Ei puede multiplicarse por cualquier constante λ diferente de cero y se puede usar la ecuación resultante en lugar de Ei. Esta operación se denotara por (λEi) → (Ei)
2. (2) la ecuación Ej puede multiplicarse por cualquier constante λ diferente de cero, sumarla a la ecuación Ei , y usar la ecuación resultante en lugar de Ei . Esta operación se denotar por (Ei + λEj ) → (Ei); (3) las ecuaciones Ei y Ej se pueden intercambiar. Esta operación se denotará por (Ei) ↔ (Ej ). Por medio de una secuencia de las operaciones anteriores, un sistema lineal se puede transformar a un sistema lineal m´as f´acil de resolver y teniendo el mismo conjunto de soluciones. La secuencia de operaciones se ilustrar en el ejemplo siguiente.

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

Si existe la solución de un sistema de ecuaciones esto depende del número de incógnitas o variables; esto es:

1. Si el sistema tiene dos ecuaciones, la solución si existe tendrá dos incógnitas; es decir [pic 2] y se llamará par ordenado.
2. Si el sistema tiene 3 ecuaciones la solución tendrá tres incógnitas; es decir [pic 3]y se llamará triada o terna.
3. Si el sistema tiene “n” ecuaciones la solución tendrá “n” incógnitas; es decir [pic 4] y se llamará n-ada.

Definición: Llamaremos conjunto solución [pic 5] al conjunto de valores formado por todas las soluciones del sistema.

[pic 6]

Ejemplos:

1. [pic 7]; entonces [pic 8] es solución única

Forma gráfica.

[pic 9]

1. Sea [pic 10][pic 11][pic 12]; estas dos ecuaciones son equivalentes pues una ecuación depende de la otra.

La solución es [pic 13]; es decir [pic 14] es una solución del sistema para cualquier valor de [pic 15] real. En otras palabras el sistema tiene infinitas soluciones por decir: [pic 16]

Forma gráfica.

[pic 17]

1. Sea el sistema:[pic 18][pic 19]; el sistema no tiene solución pues la primera fila contradice a la segunda; es decir es un sistema inconsistente o incompatible.

Forma gráfica.

[pic 20]

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

Si existe la solución de un sistema de ecuaciones esto depende del número de incógnitas o variables; esto es:

1. Si el sistema tiene dos ecuaciones, la solución si existe tendrá dos incógnitas; es decir [pic 21][pic 22][pic 23] y se llamará par ordenado.
2. Si el sistema tiene 3 ecuaciones la solución tendrá tres incógnitas; es decir [pic 24]y se llamará triada o terna.
3. Si el sistema tiene “n” ecuaciones la solución tendrá “n” incógnitas; es decir [pic 25] y se llamará n-ada.

Definición: Llamaremos conjunto solución [pic 26] al conjunto de valores formado por todas las soluciones del sistema.

[pic 27]

Ejemplos:

1. [pic 28]; entonces [pic 29] es solución única

Forma gráfica.

[pic 30]

1. Sea [pic 31][pic 32][pic 33]; estas dos ecuaciones son equivalentes pues una ecuación depende de la otra.

La solución es [pic 34]; es decir [pic 35] es una solución del sistema para cualquier valor de [pic 36] real. En otras palabras el sistema tiene infinitas soluciones por decir: [pic 37]

Forma gráfica.

[pic 38]

1. Sea el sistema:[pic 39][pic 40]; el sistema no tiene solución pues la primera fila contradice a la segunda; es decir es un sistema inconsistente o incompatible.

Forma gráfica.

[pic 41]

(1) la ecuación Ei puede multiplicarse por cualquier constante λ diferente de cero y se puede usar la ecuación resultante en lugar de Ei. Esta operación se denotar´a por (λEi) → (Ei)

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